Логическое следование

[maximk]

Почему таблица истинности для исчисления высказываний в двузначной логике (математической) определяется именно так, как определяется? Подразумевается принципиальная возможность следования лжи из лжи, истины из лжи, или как "правильно" понимать? Под влиянием чего образовалась именно такая истинностная таблица?
Ведь не всегда из лжи следует истина, из лжи следует ложь, даже следование истины из истины можно подвергнуть сомнению (существуют контрпримеры).
Никакого философского смысла ведь не вкладывается в эту таблицу, она образована лишь запросами практики?

[Xaositect]

maximk в сообщении #1015692 писал(а):

Почему таблица истинности для исчисления высказываний в двузначной логике (математической) определяется именно так, как определяется? Подразумевается принципиальная возможность следования лжи из лжи, истины из лжи, или как "правильно" понимать? Под влиянием чего образовалась именно такая истинностная таблица?

Под влиянием чего она образовалась - это вопрос по истории философии, ну а суть (на мой взгляд) в том, что при таком определении выполняется теорема о дедукции.

[maximk]

А можете посоветовать какую-нибудь книгу, где можно об этом вычитать (по истории философии)? Желательно интересную, обширную и так далее

[ex-math]

$x$ делится на $4$, следовательно, $x$ делится на $2$.
Подставьте различные $x$ по модулю $4$ в эту истинную импликацию и увидите, почему именно такая таблица истинности, в частности, как из лжи может следовать истина.

[arseniiv]

maximk в сообщении #1015699 писал(а):

А можете посоветовать какую-нибудь книгу, где можно об этом вычитать (по истории философии)?

Книга по истории философии вряд ли содержит нужную информацию. Но к вашим услугам ещё парочка (объединённых из большего числа) тем о таблице истинности импликации на этом форуме (см. поиск).

[Xaositect]

maximk в сообщении #1015699 писал(а):

А можете посоветовать какую-нибудь книгу, где можно об этом вычитать (по истории философии)? Желательно интересную, обширную и так далее

Не, я это дело не люблю. Зато можно оригиналы читать. Вот, скажем, у Фреге в "Begriffschrifft" явно выписана таблица истинности для импликации (словами) и отмечено, что она не вполне отражает значение связки "если..то", потому что связка подразумевает некоторую причинно-следственную связь.
У Пирса что-то похожее встречается, например

C.S.Pierce, On Existential Graphs, Euler's Diagrams, and Logical Algebra писал(а):

What does it mean to assert de inesse that there is something, which if it be a salamander, lives in fire? It asserts, no doubt, that there is something. Now suppose that anything lives in fire. Then of that it will be true de inesse that if it be a salamander, it lives in fire; so that the proposition will then be true. Suppose that there is anything that is not a salamander. Then, of that it will be true de inesse that if it be a salamander, it lives in fire; and again the proposition will be true. It is only false in case whatever there may be is a salamander while nothing lives in fire.

Что там до этого в средневековье думали по этому поводу - не знаю.

[arseniiv]

(Возможно, в Summa logicae что-нибудь и найдётся, раз там даже законы де Моргана были, но это штука неподъёмная. Мне хватило заискаться латинским переводом этих з., чтобы решить больше не открывать. Но, опять же, какой толк, когда написано обоснование?)

[Xaositect]

И действительно: http://www.jstor.org/discover/10.2307/4 ... 6837417033

[maximk]

ex-math, да, спасибо, я просто уточнял, какой смысл отражает таблица истинности.
А как вы считаете, всегда ли из истины следует истина (из истины не может следовать лжи)?
Еще раз, уточняю, таблица истинности подразумевает только возможность выполнения/невыполнения следования? Если нет, то тогда что она подразумевает?

[ex-math]

maximk
Не очень понятен вопрос. Просто в само понятие следования уже заложено, что при истинной посылке заключение не может быть ложным. Это объясняет и практическую важность импликации. Основная неинтуитивность таблицы заключена как раз в строчке с ложной посылкой и истинным заключением, но это легко поясняется примером, который я привел.

[epros]

maximk в сообщении #1015905 писал(а):

(из истины не может следовать лжи)?

Таблица истинности импликации утверждает, что не может.

maximk в сообщении #1015905 писал(а):

таблица истинности подразумевает только возможность выполнения/невыполнения следования? Если нет, то тогда что она подразумевает?

В классической мат. логике нет такой модальности как "возможность". И таблица истинности импликации (как Вы выражаетесь -- "следования") ничего не подразумевает. Просто есть такое правило вывода -- modus ponens, которое утверждает, что с применением импликации можно делать выводы. Вот и всё.

[maximk]

Спрошу по-другому: как перевести на русский язык "$\lambda(0 \rightarrow 1)=1 $"? "Из лжи может следовать истина"? Или может "Из лжи всегда следует истина"? Или "Допустимо, что ложь влечет истину (допустимо, из лжи следует истина)"? То есть что подразумевается, "принципиальная возможнось"?
$\lambda$ здесь интерпретация.

[epros]

maximk в сообщении #1016346 писал(а):

Спрошу по-другому: как перевести на русский язык "$\lambda(0 \rightarrow 1)=1 $"?

Судя по всему, так: "Значением импликации из ложного в истинное является истинное". Вроде, так всё будет по-русски.

maximk в сообщении #1016346 писал(а):

"Из лжи может следовать истина"? Или может "Из лжи всегда следует истина"? Или "Допустимо, что ложь влечет истину (допустимо, из лжи следует истина)"? То есть что подразумевается, "принципиальная возможнось"?

Логика ничего не говорит о "подразумевании". А вот следует из этого одна важная вещь: Что истинное утверждение можно вывести и из ложной предпосылки. (Из ложной предпосылки, вообще-то, можно вывести что угодно).

[whitefox]

Почитайте Е.К.Войшвилло Символическая логика.
Там во второй части (Релевантная логика) подробно обсуждаются "парадоксы" материальной импликации и соответствующего ей отношения логического следования.

В классической же логике парадоксальность материальной импликации кажущаяся, так как материальная импликация не является релевантной экспликацией условной связи "если $A$, то $B$ ", а лишь сокращением для $(\neg A\vee B).$

Исчисление высказываний можно вполне себе построить и без использования материальной импликации, просто она удобнее при использовании правила вывода modus ponens.

[Евгений Машеров]

Правило "Из лжи следует истина" не означает, что, взяв ложные предпосылки, мы непременно получим истину, а лишь то, что рассуждение, основанное на ложных предпосылках, может привести к истинному результату, и выявление ложности предпосылок ещё не значит, что полученный из них результат заведомо ложен.

(Оффтоп)

Адвокат, защищающий Чикатило спрашивает присяжных: "Вор должен сидеть в тюрьме?". Те соглашаются. "Мой подзащитный не вор, и его следует освободить!". Присяжные в недоумении чешут в затылках. Но прокурор, сдавший в университете логику на 5, отвечает: $F\rightarrow T$, и адвокат сдувается.