2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Мат. логика: импликация
Сообщение23.02.2015, 22:11 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Хочу получше разобраться в матлогике и использовать ее как инструмент для выведения новых утверждений и определения их истинности. Иначе зачем она нужна?

Из определения импликации следует, что:
1) Импликация с ложной посылкой всегда истинна
2) Импликация с истинным заключением всегда истинна
3) Импликация ложна тогда и только тогда, когда из истинной посылки вытекает ложное заключение.

Я решил, что изучать логику будет полезнее на примере каких-нибудь теорем. Вот например:
Теорема. Если часть системы векторов линейно зависима, то вся система векторов линейно зависима.
Утверждения:
$a$: Часть системы векторов линейно зависима.
$b$: Вся система векторов линейно зависима.
Теорема имеет вид: $a \to b$

Рассмотрим все истинные импликации:
1) $0\to 0$: Если неверно, что часть системы векторов линейно зависима, то вся система векторов линейно независима. Ошибка. Дополним базис векторного пространства лишним вектором и получим опровержение.

2) $0 \to 1$: Если неверно, что часть системы векторов линейно зависима, то вся система линейно зависима. Может быть да, а может быть нет. Ничего однозначного сказать нельзя. Тем не менее правила логики вынуждают нас считать это утверждение однозначно истинным.

3) $1 \to 1$: Очевидный случай. Истинность теоремы совпала с истинностью импликации.

В первом и втором случае получили истинные импликации, которые по факту ошибочны. Что это? Ущербность мат. логики? Ее непригодность для выведения производных утверждений из исходного и определения их истинности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. логика: импликация
Сообщение23.02.2015, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Логика не нужна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. логика: импликация
Сообщение23.02.2015, 22:36 
Аватара пользователя


03/11/14

395
ИСН в сообщении #981737 писал(а):
Логика не нужна.

А я надеялся, что она будет мне полезна, чтобы лучше видеть структуры теорем и проникать в их глубину. Неужели логика только для переключательных схем нужна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. логика: импликация
Сообщение23.02.2015, 22:54 


22/05/09

685
Nurzery[Rhymes], посмотрите книжки Игошина - Математическая логика и теория алгоритмов, Задачи по математической логике и теории алгоритмов. Очень рекомендую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. логика: импликация
Сообщение23.02.2015, 22:58 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Mitrius_Math в сообщении #981743 писал(а):
Nurzery[Rhymes], посмотрите книжки Игошина - Математическая логика и теория алгоритмов, Задачи по математической логике и теории алгоритмов. Очень рекомендую.

Посмотрю. Но у меня к матлогике сначала было отношение как к науке, которая помогает доказывать теоремы, рассуждать и делать производные утверждения, изучать процесс обоснования и вносить в математику порядок, а вижу что-то неприменимое к рассуждениям, но нужное в электронике, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. логика: импликация
Сообщение23.02.2015, 23:14 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
Вы приписываете импликации некую разумность, которая позволяет ей знать о том, какие комбинации значений истинности $a$ и $b$ вообще могут встречаться, а какие нет. Но импликация знает не больше того, что в неё заложено: что $a$ и не-$b$ вместе — ложь.

Откажитесь от идеи «что-то из чего-то следует». Импликация всего лишь заявляет: когда $a$, то и $b$. Никакая логическая взаимосвязь между $a$ и $b$ здесь не постулируется. Что может опровергнуть это заявление? Только ситуация «$a$ и не-$b$».

При этом импликации неизвестно, совместимы ли остальные комбинации. Допустим, реально не-$a$ и $b$ тоже не могут встречаться, а импликация $a\to b$ всё равно истинна. Почему? Её подход:
Я не знаю, возможны или нет не-$a$ и $b$ одновременно, но если такое случится, это не нарушит моё утверждение «когда $a$, то и $b$».

Nurzery[Rhymes] в сообщении #981732 писал(а):
1) $0\to 0$: Если неверно, что часть системы векторов линейно зависима, то вся система векторов линейно независима. Ошибка. Дополним базис векторного пространства лишним вектором и получим опровержение.
Импликация не об этом. Она говорит: если и часть, и вся система независимы, то утверждение «когда часть зависима, то вся система зависима» не лжет.

Между прочим, добавляя один вектор, Вы меняете содержание термина «вся система» по ходу рассуждения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. логика: импликация
Сообщение23.02.2015, 23:17 


15/12/14

108
ИСН в сообщении #981737 писал(а):
Логика не нужна.


(Оффтоп)

Цитируете моего деда!

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. логика: импликация
Сообщение23.02.2015, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Вы просто не умеете их готовить правильно употреблять. Начнем с того, что это по сути не высказывания, а предикаты. Они верны не сами по себе, а по отношению к некоторым "системам векторов". Если вы хотите убрать свободные переменные, нужно навесить кванторы. А еще четко связать переменные первого и второго высказывания.
Правильная формальная запись теоремы будет выглядеть совсем не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. логика: импликация
Сообщение23.02.2015, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
Теорема утверждает, что импликация истинна, то есть не может быть ложного $b $ при истинном $a $. Она не утверждает, что обязаны реализоваться все варианты истинностных значений $a $ и $b $, при которых импликация истинна.

-- 23.02.2015, 23:22 --

Может проще будет для начала рассмотреть такую теорему: если натуральное число делится на четыре, то оно четно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. логика: импликация
Сообщение23.02.2015, 23:24 
Аватара пользователя


01/12/06
535
мсср
Nurzery[Rhymes] в сообщении #981732 писал(а):
1) . . . : Если неверно, что часть системы векторов линейно зависима, то вся система векторов линейно независима. Ошибка. Дополним базис векторного пространства лишним вектором и получим опровержение.

$\neg a\to\neg b$
Отрицание $b$ построено правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. логика: импликация
Сообщение23.02.2015, 23:26 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Цитата:
Может проще будет для начала рассмотреть такую теорему: если натуральное число делится на четыре, то оно четно.

Я уже читал некоторые книги. Учебник Никольской, например, и видел там абсурдные высказывания, которые тем не менее истинны. Похоже, я просто возлагал на импликацию то, чего она не умеет.

-- 24.02.2015, 00:28 --

gefest_md в сообщении #981760 писал(а):
Nurzery[Rhymes] в сообщении #981732 писал(а):
1) . . . : Если неверно, что часть системы векторов линейно зависима, то вся система векторов линейно независима. Ошибка. Дополним базис векторного пространства лишним вектором и получим опровержение.

$\neg a\to\neg b$
Отрицание $b$ построено правильно?

Вроде да. Вместо "Неверно, что система линейно зависима" написал, что она линейно независима, потому что высказывание с обилием "неверно, что" сознание отказывается быстро распарсить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. логика: импликация
Сообщение24.02.2015, 01:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
Короче, как тут уже сказали, запись вашей теоремы будет совсем не $a\to b$, ибо $a, b$ обе содержат свободную переменную (систему векторов, а они разные бывают). Вот если записать такое:$$\begin{aligned} 
a &= \text{часть }s\text{ линейно зависима}, \\ 
b &= s\text{ линейно зависима}, \\ 
u &= s\text{ — система векторов}, 
\end{aligned}$$то $\forall s.\; u\to(a \to b)$ будет правильным (если правильно формализовать $a,b,u$). И для получения интерпретации вы просто так приписывать истинностные значения $a,b,u$ не можете. Если бы они были нульместными предикатами — да, можно выбрать 0 или 1. Но это не так, и надо задать по значению для каждой возможной системы — и вот тут может появиться зависимость, т. к. не любая интерпретация нас удовлетворит, а удовлетворят только некоторые, в которых определённые формулы истинны. В данном случае это такие формулы, из которых выводятся важные нам свойства систем векторов. Если их выкинуть, то и претензии на бессмысленность некоторых интерпретаций, в которых $\forall s.\; u\to(a \to b)$ ложна, тоже надо выкинуть.

P. S. $u$ можно убрать и писать $\forall s.\; a \to b$, если объектами теории являются только системы векторов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. логика: импликация
Сообщение24.02.2015, 12:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5482
arseniiv в сообщении #981812 писал(а):
не любая интерпретация нас удовлетворит, а удовлетворят только некоторые, в которых определённые формулы истинны. В данном случае это такие формулы, из которых выводятся важные нам свойства систем векторов.

Я хотел бы уточнить один момент в мат.логике. Речь идёт об оценочных суждениях. Например, вот эти "важные нам свойства". Могут ли они быть определены чисто синтаксически (желательно -- для чистоты эксперимента -- машинным выводом)? Если да, то всегда ли это осуществимо конечным образом?

Собственно, мой вопрос в следующем. В моей наивной картине мира применение оценочных суждений (в явном или неявном виде) в реальной практике, как правило, необходимо на стыке между синтаксическими построениями и их интерпретациями. Насколько это соответствует действительности? Пример выше есть только попытка пояснить мотивацию / суть этого вопроса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. логика: импликация
Сообщение24.02.2015, 19:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
grizzly в сообщении #981885 писал(а):
В моей наивной картине мира применение оценочных суждений (в явном или неявном виде) в реальной практике, как правило, необходимо на стыке между синтаксическими построениями и их интерпретациями.
В матлогике под интерпретацией понимается алгебраическая система, в которой есть по операции на каждый функциональный символ и отношению на каждый предикатный, вместе с отображением, какой куда. Это отображение порождает отображение из замкнутых (т. е. в которых нет свободных переменных) формул в значения истинности. Интерпретаций может, конечно, быть много. Если в какой-то интерпретации множество формул $\mathcal F$ одновременно истинны, её называют моделью $\mathcal F$. Моделей у одного и того же $\mathcal F$ тоже может быть много.

grizzly в сообщении #981885 писал(а):
Например, вот эти "важные нам свойства". Могут ли они быть определены чисто синтаксически (желательно -- для чистоты эксперимента -- машинным выводом)? Если да, то всегда ли это осуществимо конечным образом?
Тут я немного перестарался в словах, наверно. Если мы рассматриваем какую-нибудь систему вывода $A$ и не принимаем $F\equiv\forall s.\; u\to(a \to b)$ за аксиому (вполне естественно в контексте), то не любая модель $F$ будет моделью всех теорем $A$; именно потому что среди теорем много чего ещё неупомянутого. В $A$ есть какие-то аксиомы, гарантирующие те теоремы, которые отрезают «неправильные» модели $F$. В данном случае это (такая $A$, которая нам нравится) возможно, но может быть по-всякому, тут я особо не разбираюсь.

Вообще же я не имел в виду никакого вывода, а только то, что нечего удивляться, что у множества формул может быть меньше моделей, чем у его подмножества (в данном случае из одной $F$), и не важно, откуда то множество взялось — навыводилось из аксиом или примерещилось со сна. :-)

Кстати о примерещившемся:
arseniiv в сообщении #981812 писал(а):
Если их выкинуть, то и претензии на бессмысленность некоторых интерпретаций, в которых $\forall s.\; u\to(a \to b)$ ложна, тоже надо выкинуть.
Это написано неправильно. Надо было так:
«Если их выкинуть, то и претензии на бессмысленность некоторых интерпретаций, в которых $\forall s.\; u\to(a \to b)$ истинна, но (скажем) $\forall s.\;u\to(\neg a\wedge b)$ тоже истинна, тоже надо выкинуть.» Теперь это что-то более осмысленное.

-- Вт фев 24, 2015 21:06:23 --

(Оффтоп)

Вообще я сильно сожалею, что начал, т. к. сказано действительно было всё, а от такого пересказа можно, скорее, запутаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. логика: импликация
Сообщение24.02.2015, 20:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5482
arseniiv
Спасибо за разъяснения -- я смог увидеть у себя большие проблемы в понимании взаимоотношений синтаксиса, семантики и оценочных суждений. Зато теперь я смогу над этим поработать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group