Как доказать неравенство(теория чисел)

[megamix62]

Как доказать неравенство

$\sum\limits_{i=1}^{n-1}p_i\leqslant \sum\limits_{i=1}^{p_n-1}\pi{(i)}$,

где $p_i $- $i$ -ое простое число, $\pi{(n)}$ - количество простых чисел $\leqslant n$

[vorvalm]

Приведите в порядок свое неравенство.

[megamix62]

megamix62 в сообщении #801350 писал(а):

Как доказать неравенство

$\sum\limits_{i=1}^{n-1}p_i\leqslant \sum\limits_{i=2}^{p_n-1}\pi{(i)}$,

где $p_n$- $n$ -ое простое число, $\pi{(n)}$ - количество простых чисел $\leqslant n$

[vorvalm]

Разберитесь все-таки с неравенством.

[megamix62]

А что вас смущает

[vorvalm]

Верхний предел второй суммы.

[megamix62]

Верхний предел второй суммы равен $p_n-1$, там все ОК

[vorvalm]

А что вы хотите показать этим неравенством?

[shwedka]

Запишите правую часть как интеграл Стилтьеса и проинтегрируйте по частям.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[vorvalm]

Правая сумма равна сумме арифметической прогрессии от 2 до (n - 1)
с разностью 1.

[Null]

Цитата:

Правая сумма равна сумме арифметической прогрессии от 2 до (n - 1)
с разностью 1.

Вы ошибаетесь.
Тут лучше всего нарисовать слагаемые столбиками из клеточек.

[vorvalm]

Да. Первый член прогрессии равен 1.

[Null]

Вы снова ошибаетесь. Там сумма не $\pi$(простые числа), а сумма $\pi$(все числа по порядку). Соответственно слагаемые будут повторяться.

[migmit]

megamix62 в сообщении #801350 писал(а):

Как доказать неравенство

$\sum\limits_{i=1}^{n-1}p_i\leqslant \sum\limits_{i=1}^{p_n-1}\pi{(i)}$,

где $p_i $- $i$ -ое простое число, $\pi{(n)}$ - количество простых чисел $\leqslant n$

Э-э-э... Для $n=2$ получаем

$$ \sum_{i=1}^{n-1}p_i = \sum_{i=1}^1p_i = p_1 = 2 > 1 = 0 + 1 = \pi(1) + \pi(2) = \sum_{i=1}^2\pi(i) = \sum_{i=1}^{p_2-1}\pi(i) = \sum_{i=1}^{p_n-1}\pi(i) $$

Так что, видимо, никак.