Как доказать неравенство(теория чисел)

[megamix62]

Null в сообщении #802025 писал(а):

Вы снова ошибаетесь. Там сумма не $\pi$(простые числа), а сумма $\pi$(все числа по порядку). Соответственно слагаемые будут повторяться.

Вы правы , возьмем $n=5$

$$\sum_{i=2}^{p_5-1}\pi(i) =\pi(2)+\pi(3)+\pi(4)+\pi(5)+\pi(6)+\pi(7)+\pi(8)+\pi(9)+\pi(10)=1+2+2+3+3+4+4+4+4=27$$

$$\sum_{i=1}^{n-1}p_i = 2+3+5+7=17$$

$p_5=11=(27+17)/4$

migmit - прав - неравенство выполняется при $n>2$

[migmit]

megamix62 в сообщении #801350 писал(а):

Как доказать неравенство

$\sum\limits_{i=1}^{n-1}p_i\leqslant \sum\limits_{i=1}^{p_n-1}\pi{(i)}$,

где $p_i $- $i$ -ое простое число, $\pi{(n)}$ - количество простых чисел $\leqslant n$

Можно упростить:

$$ \sum_{i=1}^{n-1}p_i = \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=0}^{p_i-1}1 = \sum_{j=0}^{p_n-1}\sum_{i\in[1..n-1], p_i> j} 1 = \sum_{j=1}^{p_n-1}\left(n-1-\sum_{i\in[1..n-1], p_i \leq j}1\right) = (p_n-1)(n-1) - \sum_{j=1}^{p_n-1}\pi(j) $$

Так что ваше утверждение сводится к тому, что $\sum_{i=1}^{n-1}p_i$ меньше половины $(p_n-1)(n-1)$, или, иначе, что очередное простое число более чем вдвое превосходит среднее значение предыдущих.