Элементарное доказательство кубической ВТФ.


.

не имеют общего делителя, в противном случае его сокращаем.
Доказать отсутствие решений.
Рассмотрим уравнение (1) как предельный переход бесконечного ряда сравнений специального вида на основе теоремы Дирихле, имеющей, как известно, и элементарное доказательство.


даёт функцию Эйлера

;

,

,

избавляют от пропорционального модулю множителя;

задаёт степень чётности функции Эйлера.

избавляет от неоднозначности корней по модулю, что необходимо при предельном переходе.
Произведём сдвиг переменных левой части на функцию Эйлера.


Перемножим левые и правые части

и

.


Теперь, применяя к левой части ту же процедуру сдвига на функцию Эйлера, приведения и
перемножения соответствующих частей с локально исходным, получим итерационную формулу.


![$$\lim\limits_{p \rightarrow \infty}(a^{e-12}+b^{e-12}\equiv \frac{[(ab)^{e-3}c^6-2]^2_{(1)}-2}{(ab)^6}\mod p\equiv B)$$ $$\lim\limits_{p \rightarrow \infty}(a^{e-12}+b^{e-12}\equiv \frac{[(ab)^{e-3}c^6-2]^2_{(1)}-2}{(ab)^6}\mod p\equiv B)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/4/384b3d254de6dedb490eda805a2e00dc82.png)


![$$\lim\limits_{p \rightarrow \infty}(a^{e-24}+b^{e-24}\equiv \frac{[[(ab)^{e-3}c^6-2]^2_{(1)}-2]^2_{(2)}-2}{(ab)^{12}}\mod p)$$ $$\lim\limits_{p \rightarrow \infty}(a^{e-24}+b^{e-24}\equiv \frac{[[(ab)^{e-3}c^6-2]^2_{(1)}-2]^2_{(2)}-2}{(ab)^{12}}\mod p)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/9/ed9496e084e6753ecf929611680b990b82.png)
Продолжив итерации, мы придём опять в левой части после цикла к степени

, так как у нас

.
Тогда подставим вместо левой части другое значение

.
![$$\lim\limits_{p \rightarrow \infty}(\frac{c^6}{(ab)^3}-2\equiv [...[[\frac{c^6}{(ab)^3}-2]^2_{(1)}-2]^2_{(2)}...-2]^2_{(l)}-2\mod p) (4)$$ $$\lim\limits_{p \rightarrow \infty}(\frac{c^6}{(ab)^3}-2\equiv [...[[\frac{c^6}{(ab)^3}-2]^2_{(1)}-2]^2_{(2)}...-2]^2_{(l)}-2\mod p) (4)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/d/19decff1e92c7bff08cf521faec7a3b482.png)

Изначально наложенное на модуль условие приводит к однозначному определению значений переменных по значению их кубов, квадратный корень даёт плюс значение и минус значение.
Поэтому возможно осуществить предельный переход и получить предельное уравнение, которое эквивалентно исходному уравнению

.
![$$\frac{c^6}{(ab)^3}-2 = [...[[\frac{c^6}{(ab)^3}-2]^2_{(1)}-2]^2_{(2)}...-2]^2_{\infty}-2 (5)$$ $$\frac{c^6}{(ab)^3}-2 = [...[[\frac{c^6}{(ab)^3}-2]^2_{(1)}-2]^2_{(2)}...-2]^2_{\infty}-2 (5)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/5/de54f5c3dbbee38bd129bc562790c3d182.png)
Предельное уравнение имеет всего

потенциальных корня. Рассмотрим их.
1)

Возведём

в квадрат и подставим

Корней нет при отрицательном дискриминанте.
2)

Возведём

в квадрат и подставим

противоречие с исходным предположением об отсутствии общего множителя или

.
Вывод:

не имеет решений.