2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 18, 19, 20, 21, 22
 
 Re: Заметки о недостающем варианте элементарного доказательства.
Сообщение09.05.2020, 10:07 


13/05/16
131
Tot в сообщении #1460379 писал(а):
Уважаемые форумчане, покритикуйте, пожалуйста, моё доказательство!

Я правильно понимаю, что в случае ВТФ3 у вас число справа четное и случай, когда оно нечетно вы не рассматривали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Заметки о недостающем варианте элементарного доказательства.
Сообщение09.05.2020, 11:17 


08/12/13
252
Уважаемый Antoshka, будьте внимательнее!
Tot в сообщении #1459521 писал(а):
Нет. Представьте в натуральных числах два слагаемых и сумму. Если сумма чётна, то это наш случай со знаком "плюс". Если чётно слагаемое, то нечётное слагаемое переносим в другую сторону и получаем наш случай со знаком "минус".


-- 09.05.2020, 11:23 --

Чтобы тема раньше времени не замылилась, на каждой новой странице буду давать ссылку на оглавление доказательства.
Оглавление.
Tot в сообщении #1459824 писал(а):
Доказательство ВТФ и гипотезы Биля методом бесконечного спуска.

Кубический ВТФ - первое сообщение на странице 21.
Tot в сообщении #1460379 писал(а):
Уважаемые форумчане, покритикуйте, пожалуйста, моё доказательство!

 Профиль  
                  
 
 Re: Заметки о недостающем варианте элементарного доказательства.
Сообщение09.05.2020, 18:55 
Заслуженный участник


04/05/09
4546
Tot в сообщении #1460379 писал(а):
Уважаемые форумчане, покритикуйте, пожалуйста, моё доказательство!
Какой нам с этого интерес? Просто так искать ошибки стало скучно.
Давайте так - после указания на ошибку вы не пишете в этой теме неделю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заметки о недостающем варианте элементарного доказательства.
Сообщение09.05.2020, 19:10 


08/12/13
252
Согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заметки о недостающем варианте элементарного доказательства.
Сообщение10.05.2020, 00:16 
Заслуженный участник


04/05/09
4546
Tot в сообщении #1459090 писал(а):
4] Случай разности двух нечётных биквадратов.
Окей, здесь вы, для начала, не доказали, что:
$$\gcd(a^2+b^2,a^2-b^2)=2$$
Зачем-то используете $n$, когда оно равно $4$.

Но, главное, вы не рассмотрели очевидный случай:
$$\begin{cases} a^2-b^2=2^{4s-1}c_1^4 \\ a^2+b^2=2c_2^4 \end{cases}$$
$$c_1\cdot c_2=c$$
$$\gcd(c_1,c_2)=1$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Заметки о недостающем варианте элементарного доказательства.
Сообщение10.05.2020, 03:25 


08/12/13
252
venco в сообщении #1461464 писал(а):
Зачем-то используете $n$, когда оно равно $4$.

Рассматривается гипотеза Биля, а не теорема Ферма.
Этот вариант - рудимент с прошлых лет этой темы, просто там его никто проверять не стал.
В общем-то этот вариант в таком виде совсем не нужен. На бумаге разность биквадратов я рассматривал в том же ключе, что и случай с нечётной степенью. Просто там нечётный и чётный $n$ нужно рассматривать отдельно, поэтому поленился и поплатился.
Вы указали не ошибку, а недочёт в доказательстве случая, который в принципе не нужен, он рассматривается лишь для полноты картины.
Но, если угодно, будем считать, что пари на $168$ часовое молчание в этой теме я проиграл, этот момент как раз без разницы. Если пожелаете, можем продолжить пари на общение раз в неделю до выявления неустранимой ошибки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заметки о недостающем варианте элементарного доказательства.
Сообщение20.05.2020, 14:11 


08/12/13
252
4] Случай разности двух нечётных биквадратов.
4.1] при чётном биквадрате
$$a^4-b^4=2^{4s}c^4 \eqno(4.1.1)$$
$a,b,c,s\in\mathbb N$; $a\mod 2\equiv b\mod 2 \equiv c\mod 2 \equiv 1$.
$a,b,c$ не имеют общего делителя, его сокращаем.
Доказать отсутствие решений.
$$(\frac{a}{c})^4 - (\frac{b}{c})^4\equiv 2^{4s}\mod 2^t \eqno(4.1.2)$$
$t\in\mathbb N$; $t>4s$
Возведём (4.1.2) в квадрат.
$$(\frac{a}{c})^{8}+(\frac{b}{c})^{8}\equiv 2^{8s} + 2(\frac{ab}{c^2})^4\mod 2^t \equiv A_1 \eqno(4.1.3)$$
Согласно (4.1.2)
$$(\frac{a}{c})^4 - (\frac{b}{c})^4\equiv 0\mod 2^{4s}$$
Значит $$2(\frac{ab}{c^2})^4\mod 2^{4s+1}\equiv 2(\frac{b}{c})^{8} $$
Поэтому $$A_1\mod 32 \equiv 2 \eqno(4.1.4)$$
Всегда выполняется условие $$32\leq 2^{4s+1}$$
Возведём (4.1.3) в квадрат.
$$(\frac{a}{c})^{16}+(\frac{b}{c})^{16}\equiv A_1^2-2(\frac{ab}{c^2})^{8}\mod 2^t \equiv A_2 \eqno(4.1.5)$$
Рассуждения аналогичные проведённым ранее приводят к
$$A_2\mod 32 \equiv 2 \eqno(4.1.6)$$
Продолжим возводить в квадрат и проводить такие же рассуждения.
$$...$$
$$(\frac{a}{c})^{2^{t-6}4}+(\frac{b}{c})^{2^{t-6}4}\equiv A_{t-7}^2-2(\frac{ab}{c^2})^{2^{t-7}4}\mod 2^t \equiv A_{t-6} \eqno(4.1.7)$$
Рассуждения аналогичные проведённым ранее приводят к
$$A_{t-6}\mod 32 \equiv 2 \eqno(4.1.8)$$
Возведём (4.1.7) в квадрат.
$$(\frac{a}{c})^{2^{t-5}4}+(\frac{b}{c})^{2^{t-5}4}\equiv A_{t-6}^2-2(\frac{ab}{c^2})^{2^{t-6}4}\mod 2^t \equiv A_{t-5} \eqno(4.1.9)$$
Рассуждения аналогичные проведённым ранее приводят к
$$A_{t-5}\mod 32 \equiv 2 \eqno(4.1.10)$$
Если $x\in\mathbb N; 2\leq t; x\mod 2 \equiv 1$, то $x^{2^{t-4}4}\mod 2^t\equiv 1$.
Сдвинем оба слагаемых (4.1.9) на степень $2^{t-4}4$ и перевернём их.
Из-за (4.1.10) имеем $$(\frac{ab}{c^2})^{2^{t-5}4}\equiv 1\mod 2^t\eqno(4.1.11)$$
Сопоставим (4.1.11) и (4.1.9), отсюда $$(\frac{a}{c})^{2^{t-5}4}\equiv(\frac{b}{c})^{2^{t-5}4}\equiv 1\mod 2^t\eqno(4.1.12)$$
Используем (4.1.12) следующим образом.
Сдвинем оба слагаемых (4.1.7) на степень $2^{t-5}4$ и перевернём их.
Из-за (4.1.8) имеем $$(\frac{ab}{c^2})^{2^{t-6}4}\equiv 1\mod 2^t\eqno(4.1.13)$$
Сопоставим (4.1.13) и (4.1.7), отсюда $$(\frac{a}{c})^{2^{t-6}4}\equiv(\frac{b}{c})^{2^{t-6}4}\equiv 1\mod 2^t\eqno(4.1.14)$$
$$...$$
По (4.1.3) получаем $$(\frac{a}{c})^{8}\equiv(\frac{b}{c})^{8}\equiv 1\mod 2^t\eqno(4.1.15)$$
Из (4.1.15) следует $$(\frac{a}{c})^{4}\equiv\pm 1\mod 2^t; (\frac{b}{c})^{4}\equiv\pm 1\mod 2^t\eqno(4.1.16)$$
Однако (4.1.16) и (4.1.2) противоречат друг другу.
Утверждение об отсутствии решений доказано.
4.2] при отсутствии чётного биквадрата
$$a^4-b^4=2^{sq}c^q \eqno(4.2.1)$$
$q\in \mathbb P \setminus \{2\}$;
$a,b,c,s\in\mathbb N$; $a\mod 2\equiv b\mod 2 \equiv c\mod 2 \equiv 1$.
Доказать отсутствие решений при отсутствии общего делителя тройки Биля $a,b,c$.
$$\frac{a^4}{c^q} - \frac{b^4}{c^q}\equiv 2^{qs}\mod C^{\alpha+1}2^t \eqno(4.2.2)$$
$t,\alpha \in\mathbb N$; $t>qs$; $(a,b,c)=C^\alpha$
Возведём (4.2.2) в квадрат.
$$(\frac{a^4}{c^q})^{2}+(\frac{b^4}{c^q})^{2}\equiv 2^{2qs} + 2\frac{a^4b^4}{c^{2q}}\mod C^{\alpha+1}2^t \equiv A_1 \eqno(4.2.3)$$
Согласно (4.2.2)
$$\frac{a^4}{c^q} - \frac{b^4}{c^q}\equiv 0\mod2^{qs}$$
Значит $$2\frac{a^4b^4}{c^{2q}}\mod 2^{qs+1}\equiv 2(\frac{a^4}{c^q})^{2} $$
Поэтому $$A_1\mod 16 \equiv 2 \eqno(4.2.4)$$
Всегда выполняется условие $$16\leq 2^{qs+1}$$
Возведём (4.2.3) в квадрат.
$$(\frac{a^4}{c^q})^{4}+(\frac{b^4}{c^q})^{4}\equiv A_1^2-2(\frac{a^4b^4}{c^{2q}})^{2}\mod C^{\alpha+1}2^t \equiv A_2 \eqno(4.2.5)$$
Рассуждения аналогичные проведённым ранее приводят к
$$A_2\mod 16 \equiv 2 \eqno(4.2.6)$$
Продолжим возводить в квадрат и проводить такие же рассуждения.
$$...$$
$$(\frac{a^4}{c^q})^{2^{t-5}}+(\frac{b^4}{c^q})^{2^{t-5}}\equiv A_{t-6}^2-2(\frac{a^4b^4}{c^{2q}})^{2^{t-6}}\mod C^{\alpha+1}2^t \equiv A_{t-5} \eqno(4.2.7)$$
Рассуждения аналогичные проведённым ранее приводят к
$$A_{t-5}\mod 16 \equiv 2 \eqno(4.2.8)$$
Если $x,y\in\mathbb N; 4\leq t; x\mod 2\equiv y\mod 2 \equiv 1$, то $x^{2^{t-2}y}\mod 2^t\equiv 1$, а $x^{2^{t-4}4}\mod 2^t\equiv 1$.
Дальнейшие операции возможны лишь при $C=1$.
Возведём (4.2.7) в квадрат.
$$\frac{2}{c^{2^{t-4}q}}\equiv A_{t-5}^2-2(\frac{a^4b^4}{c^{2q}})^{2^{t-5}}\mod C^{\alpha+1}2^t \equiv A_{t-4} \eqno(4.2.9)$$
Рассуждения аналогичные проведённым ранее приводят к
$$A_{t-4}\mod 16 \equiv 2 \eqno(4.2.10)$$
Возведём (4.2.9) в квадрат.
$$\frac{2}{c^{2^{t-3}q}}\equiv A_{t-4}^2-\frac{2}{c^{2^{t-3}q}}\mod C^{\alpha+1}2^t \equiv A_{t-3} \eqno(4.2.11)$$
Рассуждения аналогичные проведённым ранее приводят к
$$A_{t-3}\mod 16 \equiv 2 \eqno(4.2.12)$$
Из-за (4.2.12) имеем $$c^{2^{t-3}q}\equiv 1\mod C^{\alpha+1}2^t\eqno(4.2.13)$$
Преобразуем (4.2.9) на основе (4.2.13).
Из-за (4.2.10) имеем $$c^{2^{t-4}q}\equiv 1\mod C^{\alpha+1}2^t\eqno(4.2.14)$$
Преобразуем (4.2.7) на основе (4.2.14).
Из-за (4.2.8) имеем $$(\frac{a^4b^4}{c^{2q}})^{2^{t-5}}\equiv 1\mod C^{\alpha+1}2^t\eqno(4.2.15)$$
Сопоставим (4.2.15) и (4.2.7), отсюда $$(\frac{a^4}{c^q})^{2^{t-5}}\equiv (\frac{b^4}{c^q})^{2^{t-5}}\equiv 1\mod C^{\alpha+1}2^t\eqno(4.2.16)$$
$$...$$
По (4.2.3) получаем $$(\frac{a^4}{c^q})^{2}\equiv(\frac{b^4}{c^q})^{2}\equiv 1\mod C^{\alpha+1}2^t\eqno(4.2.17)$$
Из (4.2.17) следует $$\frac{a^4}{c^q}\equiv\pm 1\mod C^{\alpha+1}2^t; \frac{b^4}{c^q}\equiv\pm 1\mod C^{\alpha+1}2^t\eqno(4.2.18)$$
Однако (4.2.18) и (4.2.2) противоречат друг другу.
Утверждение об отсутствии решений доказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заметки о недостающем варианте элементарного доказательства.
Сообщение20.05.2020, 16:03 


08/12/13
252
Доказательство ВТФ и гипотезы Биля методом бесконечного спуска.
Tot в сообщении #1458887 писал(а):
1] Формулировка ВТФ.

Tot в сообщении #1459081 писал(а):
2] Формулировка гипотезы Биля.

Tot в сообщении #1459081 писал(а):
3] Случай суммы двух нечётных биквадратов.

Tot в сообщении #1464117 писал(а):
4] Случай разности двух нечётных биквадратов.

Tot в сообщении #1459496 писал(а):
без номера] Кубический ВТФ.

Tot в сообщении #1459505 писал(а):
5] Бесконечный спуск нечётного случая ВТФ.

Tot в сообщении #1459543 писал(а):
6] Три нечётных степени.

Tot в сообщении #1459594 писал(а):
7] Чётный биквадрат.

Tot в сообщении #1459599 писал(а):
8] Нечётный биквадрат.

Tot в сообщении #1459611 писал(а):
9] Нечётный и чётный биквадраты.


Заменил рудиментный алгебраический вариант случая двух нечётных биквадратов на актуальный методом бесконечного спуска.
Наверное стоит написать компактное рассмотрение гипотезы Биля методом бесконечного спуска с разбиением не на случаи различных комбинаций биквадратов, а с разбиением на сумму двух нечётных биквадратов и все остальные в общем виде. Такое рассмотрение будет короче раза в три, но несколько сложнее для восприятия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заметки о недостающем варианте элементарного доказательства.
Сообщение22.05.2020, 08:54 


08/12/13
252
Самостоятельно нашёл изъян в своих рассуждениях. Но пока не понял, является ли он фатальным, так что перерыв.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заметки о недостающем варианте элементарного доказательства.
Сообщение24.10.2020, 13:55 


08/12/13
252
Подведу итог майскому рассмотрению.
Вот при рассмотрении по модулю у ВТФ есть два варианта разложения.
По модулю степени двойки один из этих вариантов в этой теме несколько лет назад привёл
к делителям нуля, "вылезшим" из младших битов.
Второй вариант рассмотрел в мае, там та же проблема вылезла из старших битов. В этом варианте очень сильно мешает смешение отрицательных и положительных чисел по модулю. Отсутствие разделения по знаку мешает отделить зёрна от плевел. Но введение знакового бита по модулю степени двойки не поможет избавиться от делителей нуля, проблема в таком случае просто перейдёт со старшего бита в предстарший, он же старший незнаковый бит. Однако эта сложность исчезнет, если модуль будет нечётным, а функция Эйлера по-прежнему останется степенью двойки. Поэтому получается, что при использовании остатков со знаковым битом нужно свести нечётный случай ВТФ, а с ним и гипотезу Биля случая не более одного биквадрата
к гипотезе о бесконечности простых чисел Ферма. Как время появится, рассмотрю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 325 ]  На страницу Пред.  1 ... 18, 19, 20, 21, 22

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group