Замкнутость линейной оболочки

the_mescalito · 29.05.2007, 13:08

Бьюсь головой об стол.

Как доказать, что положительная линейная оболочка системы векторов $$$\left\{ \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i a_i$ , $\lambda_i >= 0 \right\}$$$ , или хотя бы ОБЫЧНАЯ линейная оболочка - замкнутое множество?!

Факт - настолько очевидный, что я теряюсь в его доказательстве ^.^

bot · 29.05.2007, 13:16

Не надо биться головой об стол - вспомните определение замкнутого множества и учтите характер неравенств.

the_mescalito · 29.05.2007, 13:21

Оно должно содержать все свои предельные (граничные) точки...

Либо любая сходящаяся последовательность точек этого множества должна сходиться к точке из этого же множества.

Не получилось ни из одного, ни из другого :-(

ИСН · 29.05.2007, 13:25

Цитата:

>=

Цитата:

замкнуто

факт действительно настолько очевидный, что все прочие слова кажутся лишними.
Ну да ладно. Из первого определения: что есть граничные точки этой штуки?

the_mescalito · 29.05.2007, 13:27

Ну, граничная точка ВООБЩЕ - точка, любая окрестность которой содержит и точки из множества, и точки не из множества...

А как это формально привязать к множеству конкретной конфигурации?? К этой самой линейной оболочке, например...

bot · 29.05.2007, 13:30

Ну дык и возьмите любую сходящуюся (в себе) последовательность точек, представленных суммой с неотрицательными коэффициентами и посмотрите, что будет в результате.

PAV · 29.05.2007, 13:31

Используйте соответствие между точками оболочки и наборами коэффициентов $\lambda_i$

the_mescalito · 29.05.2007, 13:37

Брал.

Проблема в чем... Получается предел суммы:
$x = \lim x_k = \lim \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_i^k a_i$

Чтобы перейти к сумме пределов ( $\sum \limits_{i=1}^{n} a_i \lim \lambda_i^k$ ) (и так показать, что в пределе - тоже линейная комбинация), нужно существование пределов последовательностей $\lambda_i^k$ . Мне это доказать не удалось (если вообще возможно)

ИСН · 29.05.2007, 13:39

Я настаиваю на своём подходе. Что есть граничные точки этой штуки? Ну, в бытовом, кондовом, человеческом смысле? Вот я взял её, кручу в руках, чешу бороду. Граничные точки - это какие?

the_mescalito · 29.05.2007, 13:43

PAV
Прошу прощения, я не очень понимаю. Что может дать это соответствие?

Добавлено спустя 2 минуты 46 секунд:

ИСН
Это точка, любая окрестность которой содержит и точки из множества, и точки не из множества...

Такое определение... :-\

Добавлено спустя 1 минуту 7 секунд:

Насчёт бытового смысла...
Гм... Хороший вопрос )
Ну вот такие, которые снаружи... Как-то так.... )))

ИСН · 29.05.2007, 14:04

Так! Так, Ющенко! :lol:

Те, что "снаружи", вернее - те, что с краю. А каким альфам они соответствуют?

the_mescalito · 29.05.2007, 14:14

ИСН
Так непонятно...

Размерность пространства - произвольная, граничная точка эта совершенно где угодно может торчать!

Если Вы о том, чтоб формально задать границу этого множества, не понимаю, как это сделать :-(

Добавлено спустя 5 минут 32 секунды:

Кстати... Кто сказал, что эта самая граничная точка чему-то соответствует?

Как раз это и надо доказать...
Что не существует такой точки прикосновения $p$ , которая любым набором $\lambda_i$ через $a$ не выражается.

PAV · 29.05.2007, 14:30

the_mescalito писал(а):

Чтобы перейти к сумме пределов ( $\sum \limits_{i=1}^{n} a_i \lim \lambda_i^k$ ) (и так показать, что в пределе - тоже линейная комбинация), нужно существование пределов последовательностей $\lambda_i^k$ . Мне это доказать не удалось (если вообще возможно)

Пределов у коэффициентов может и не быть, так как не сказано, что вектора линейно независимы. Поэтому я бы рекомендовал начать с того, что удалить из набора линейно зависимые вектора, оставить базис и все выражать только через него.

Затем я бы показал, что наборы коэффициентов можно ограничить.

Ну а затем уже понятно - пространство конечномерно, поэтому из ограниченного набора числовых последовательностей можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

bot · 29.05.2007, 14:34

Хм-м, а метрика относительно которой сходимость рассматривается, какая?
Разве не такая, по которой можно эквивалентно переходить к пределу покоординатно?

the_mescalito · 29.05.2007, 14:36

PAV
Пытался :-\

Но кто нам мешает в набор $a_i$ включить, скажем, два противоположных по направлению вектора?

Тогда $\lambda_i$ , получается, не ограничить :-\

Это всё делается для доказательства леммы Фаркаша о следствии системы неравенств.

А... Стоп... Когда я буду оставлять от исходных векторов только базис, противоположные по направлению вектора ведь исключатся?

Научный форум dxdy

Замкнутость линейной оболочки