2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Замкнутость линейной оболочки
Сообщение29.05.2007, 13:08 


29/05/07
20
Ярославль
Бьюсь головой об стол.

Как доказать, что положительная линейная оболочка системы векторов $$\left\{ \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i a_i, \lambda_i >= 0 \right\}$$, или хотя бы ОБЫЧНАЯ линейная оболочка - замкнутое множество?!

Факт - настолько очевидный, что я теряюсь в его доказательстве ^.^

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 13:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Не надо биться головой об стол - вспомните определение замкнутого множества и учтите характер неравенств.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 13:21 


29/05/07
20
Ярославль
Оно должно содержать все свои предельные (граничные) точки...

Либо любая сходящаяся последовательность точек этого множества должна сходиться к точке из этого же множества.

Не получилось ни из одного, ни из другого :-(

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 13:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Цитата:
>=

Цитата:
замкнуто

факт действительно настолько очевидный, что все прочие слова кажутся лишними.
Ну да ладно. Из первого определения: что есть граничные точки этой штуки?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 13:27 


29/05/07
20
Ярославль
Ну, граничная точка ВООБЩЕ - точка, любая окрестность которой содержит и точки из множества, и точки не из множества...

А как это формально привязать к множеству конкретной конфигурации?? К этой самой линейной оболочке, например...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 13:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Ну дык и возьмите любую сходящуюся (в себе) последовательность точек, представленных суммой с неотрицательными коэффициентами и посмотрите, что будет в результате.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 13:31 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Используйте соответствие между точками оболочки и наборами коэффициентов $\lambda_i$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 13:37 


29/05/07
20
Ярославль
Брал.

Проблема в чем... Получается предел суммы:
x = \lim x_k = \lim \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_i^k a_i

Чтобы перейти к сумме пределов (\sum \limits_{i=1}^{n} a_i \lim \lambda_i^k) (и так показать, что в пределе - тоже линейная комбинация), нужно существование пределов последовательностей \lambda_i^k. Мне это доказать не удалось (если вообще возможно)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Я настаиваю на своём подходе. Что есть граничные точки этой штуки? Ну, в бытовом, кондовом, человеческом смысле? Вот я взял её, кручу в руках, чешу бороду. Граничные точки - это какие?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 13:43 


29/05/07
20
Ярославль
PAV
Прошу прощения, я не очень понимаю. Что может дать это соответствие?

Добавлено спустя 2 минуты 46 секунд:

ИСН
Это точка, любая окрестность которой содержит и точки из множества, и точки не из множества...

Такое определение... :-\

Добавлено спустя 1 минуту 7 секунд:

Насчёт бытового смысла...
Гм... Хороший вопрос )
Ну вот такие, которые снаружи... Как-то так.... )))

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 14:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Так! Так, Ющенко! :lol:
Те, что "снаружи", вернее - те, что с краю. А каким альфам они соответствуют?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 14:14 


29/05/07
20
Ярославль
ИСН
Так непонятно...

Размерность пространства - произвольная, граничная точка эта совершенно где угодно может торчать!

Если Вы о том, чтоб формально задать границу этого множества, не понимаю, как это сделать :-(

Добавлено спустя 5 минут 32 секунды:

Кстати... Кто сказал, что эта самая граничная точка чему-то соответствует?

Как раз это и надо доказать...
Что не существует такой точки прикосновения p, которая любым набором \lambda_i через a не выражается.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 14:30 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
the_mescalito писал(а):
Чтобы перейти к сумме пределов (\sum \limits_{i=1}^{n} a_i \lim \lambda_i^k) (и так показать, что в пределе - тоже линейная комбинация), нужно существование пределов последовательностей \lambda_i^k. Мне это доказать не удалось (если вообще возможно)


Пределов у коэффициентов может и не быть, так как не сказано, что вектора линейно независимы. Поэтому я бы рекомендовал начать с того, что удалить из набора линейно зависимые вектора, оставить базис и все выражать только через него.

Затем я бы показал, что наборы коэффициентов можно ограничить.

Ну а затем уже понятно - пространство конечномерно, поэтому из ограниченного набора числовых последовательностей можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 14:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Хм-м, а метрика относительно которой сходимость рассматривается, какая?
Разве не такая, по которой можно эквивалентно переходить к пределу покоординатно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2007, 14:36 


29/05/07
20
Ярославль
PAV
Пытался :-\

Но кто нам мешает в набор a_i включить, скажем, два противоположных по направлению вектора?

Тогда \lambda_i, получается, не ограничить :-\

Это всё делается для доказательства леммы Фаркаша о следствии системы неравенств.

А... Стоп... Когда я буду оставлять от исходных векторов только базис, противоположные по направлению вектора ведь исключатся?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group