Замкнутость линейной оболочки

[the_mescalito]

PAV
Выражаемость, судя по всему, просто доказывается?
Есть система векторов. Из неё можно выделить максимальную линейно независимую, через которую выражаются остальные вектора системы.

В нашей "положительной" линейной оболочке все вектора выражаются через исходную систему. А дальше взамен "отброшенных" векторов можно подставить их выражение через выделенную максимальную линейно независимую систему ("базу").

В итоге получаем, что каждый вектор рассматриваемого множества линейно выражается через нашу базу.

[PAV]

Не совсем. Исходно ведь все коэффициенты неотрицательны. Но после выражения всех коэффициентов через базу это условие может нарушаться. А с другой стороны, если рассмотрите выражение через базу с произвольными коэффициентами, то можете получить посторонние вектора. Поэтому нужно некоторые усилия положить на то, чтобы получить такое же множество векторов.

Добавлено спустя 29 секунд:

the_mescalito писал(а):

В итоге получаем, что каждый вектор рассматриваемого множества линейно выражается через нашу базу.

Но обратное, вообще говоря, неверно.

[the_mescalito]

Всем огромное спасибо за участие!

Пытаюсь понять рассуждения Brukvalub.

Разве линейная оболочка сама не является одним из подпространств в пересечении?
А ведь именно её замкнутость и надо показать... :-\

PAV
А для чего это доказывать? Может просто сделать замену?
Получится примерно такое начало:

Исходно имеем линейно зависимую систему векторов a_1,...,a_n.

Мы можем урезать её до максимальной линейно независимой системы (базы) a_1,...,a_p так, что:

a_{p+1} = \gamma_1^{p+1} a_1 + ... + \gamma_p^{p+1} a_p
...
a_n = \gamma_1^n a_1 + ... + \gamma_p^n a_p

Тогда исходное множество может быть представлено следующим образом:

A = \left\{ \lambda_1'a_1 + ... \lambda_p'a_p | \lambda_1' >= \gamma_1^{p+1} + ... + \gamma_1^{p+1}; ...; \lambda_p' >= \gamma_p^{p+1} + ... + \gamma_p^{p+1}\right\}

Вектора a_1, ..., a_p линейно независимы, следовательно каждая точка множества A взаимнооднозначно представляется набором коэффициентов\lambda_1', ... \lambda_p'.

А вот далее...
Мне кажется, далее нужно каким-то образом склонить к сходимости коэффициентов.
Здесь наверное очень помог бы приведённый Вами факт с ортогональными дополнениями. Подскажите пожалуйста, где о нём можно поподробней почитать?

[PAV]

Вам нужно внимательнее продумать условия на коэффициенты $\lambda_i'$. То, что Вы написали, неверно. Например, пусть $a_1$ и $a_2$ - базис, $a_3=a_1+a_2$. По Вашему условию выходит, что вектор $x=0.5a_1$ не подходит, но это же неверно.

[the_mescalito]

PAV
Да, прошу прощения, виноват...
A = \left\{ \lambda_1'a_1 + ... \lambda_p'a_p | \lambda_1' >= -\left(\gamma_1^{p+1} + ... + \gamma_1^{p+1}\right); ...; \lambda_p' >= -\left(\gamma_p^{p+1} + ... + \gamma_p^{p+1}\right)\right\}

[PAV]

И это тоже, по-моему, неверно. Если я не ошибаюсь, то рассмотрев в двумерном простанстве систему из трех векторов $(1,0)$, $(0,1)$ и $(-1,-1)$, ИМХО, с помощью линейной комбинации с неотрицательными коэффициентами можно получить вообще любой вектор.