2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 о формуле Кардано
Сообщение02.12.2013, 23:19 
почему при решении делается именно такая замена: $x=y-a/3$ ? Что-то не нашел объяснения. Как до этого додуматься?

 
 
 
 Re: о формуле Кардано
Сообщение02.12.2013, 23:26 
Аватара пользователя
Мы хотим с помощью линейной замены $y = x + \alpha$ как-нибудь упростить уравнение. Получается $$x^3 + ax^2 + bx + c = y^3 + (a - 3\alpha)y^2 + (b - 2a\alpha + 3\alpha^2) y + (c - b\alpha + a\alpha^2 -\alpha^3),$$ и есть очевидное упрощение - если $\alpha = \frac{a}{3}$, то коэффициент при квадрате будет нулевым.

 
 
 
 Re: о формуле Кардано
Сообщение02.12.2013, 23:32 
а опять таки, с чего это вдруг додумались, что перед $y$ второй степени будет именно такой коэффициент?

 
 
 
 Re: о формуле Кардано
Сообщение02.12.2013, 23:35 
Аватара пользователя
newnewnewmath в сообщении #795618 писал(а):
а опять таки, с чего это вдруг додумались, что перед $y$ второй степени будет именно такой коэффициент?
Я скобки раскрыл.

 
 
 
 Re: о формуле Кардано
Сообщение02.12.2013, 23:37 
В многочлене $\[f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}{x^k}} \]$ замена $\[x = y - \frac{{{a_{n - 1}}}}{n}\]$ делает коэффициент перед $\[{y^{n - 1}}\]$ равным нулю. И поверьте, к самому методу Кардано это относится мало. Это лишь первый этап для упрощения уравнения.

А почему конкретно такой коэффициент - так вы посмотрите, степень n-1 может выйти только из первого члена (где степень n) и второго. От второго коэффициент $\[{a_{n - 1}}\]$, от первого, по биному Ньютона, второе слагаемое будет $\[ - n\beta \]$. Поэтому если $\[\beta  = \frac{{{a_{n - 1}}}}{n}\]$, коэффициент будет равен нулю (замену я обозначил $\[y = x - \beta \]$)

 
 
 
 Re: о формуле Кардано
Сообщение03.12.2013, 18:54 
вооот, так гораздо яснее, спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group