о формуле Кардано

[newnewnewmath]

почему при решении делается именно такая замена: $x=y-a/3$ ? Что-то не нашел объяснения. Как до этого додуматься?

[Xaositect]

Мы хотим с помощью линейной замены $y = x + \alpha$ как-нибудь упростить уравнение. Получается

$$x^3 + ax^2 + bx + c = y^3 + (a - 3\alpha)y^2 + (b - 2a\alpha + 3\alpha^2) y + (c - b\alpha + a\alpha^2 -\alpha^3),$$

и есть очевидное упрощение - если $\alpha = \frac{a}{3}$, то коэффициент при квадрате будет нулевым.

[newnewnewmath]

а опять таки, с чего это вдруг додумались, что перед $y$ второй степени будет именно такой коэффициент?

[Xaositect]

newnewnewmath в сообщении #795618 писал(а):

а опять таки, с чего это вдруг додумались, что перед $y$ второй степени будет именно такой коэффициент?

Я скобки раскрыл.

[Ms-dos4]

В многочлене $\[f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}{x^k}} \]$ замена $\[x = y - \frac{{{a_{n - 1}}}}{n}\]$ делает коэффициент перед $\[{y^{n - 1}}\]$ равным нулю. И поверьте, к самому методу Кардано это относится мало. Это лишь первый этап для упрощения уравнения.

А почему конкретно такой коэффициент - так вы посмотрите, степень n-1 может выйти только из первого члена (где степень n) и второго. От второго коэффициент $\[{a_{n - 1}}\]$, от первого, по биному Ньютона, второе слагаемое будет $\[ - n\beta \]$. Поэтому если $\[\beta = \frac{{{a_{n - 1}}}}{n}\]$, коэффициент будет равен нулю (замену я обозначил $\[y = x - \beta \]$)

[newnewnewmath]

вооот, так гораздо яснее, спасибо!