Точечная оценка распределения Лапласа

[Nexus0603]

Задание:
1. Найти точечную оценку неизвестного параметра $\alpha$ по методу моментов или по методу максимального правдоподобия. Параметр $\lambda$ известен. Проверить полученную оценку на несмещенность, состоятельность и эффективность.

Я нашел точечную оценку по методу максимального правдоподобия. Получилось, что точечная оценка - это медиана. Теперь надо проверить полученную оценку на несмещенность. Тут и застопорился.
Теория. Если $ M (\theta^*) = \theta$ то оценка несмещенная
Собственно - как найти $M( med(X))$?
Всем заранее благодарен.

[--mS--]

Плотность распределения $k$-й порядковой статистики есть

$$ f_{X_{(k)}}(t)=n C_{n-1}^{k-1}F^{k-1}(t)\left(1-F(t)\right)^{n-k}f(t), $$

где $f(t)$ и $F(t)$ - плотность и функция распределения элементов выборки. Ну и выпишите нужное матожидание, потом симметрию распределения относительно точки $t=\alpha$ используйте. Можно сначала сдвинуть на $\alpha$ все элементы выборки и перейти к симметричному относительно нуля распределению.

[Nexus0603]

Спасибо, хорошо.
Только получается какая то жуткая формула, которую для меня сложно привести к какому то нормальному для анализа виду.
$\frac{n! (1-\frac12 e^{-\lambda t})^\frac{n-1}{2}(\frac12 e^{-\lambda t})^\frac{n+1}{2}(\frac{\lambda}{2}e^{-\lambda |t|})}{(\frac{n+1}{2})[(\frac{n-1}{2})!]^2}$

[--mS--]

Нет, не получается таких формул, функция распределения для распределения Лапласа - это не $1-\frac12 e^{-\lambda t}$.

Совершенно необязательно подставлять конкретные функции вместо $f$ и $F$, достаточно их свойств. Ещё раз: используйте симметрию (нечётность) подынтегрального выражения в матожидании.

[Nexus0603]

Спасибо за совет. К сожалению не понимаю как использовать здесь эти условия.
Решил перейти к оценке $\bar{X}$. Нашел ее по методу ОММ.
Теперь не получается оценить эффективность оценки. Получается, что инф. количество Фишера равно нулю. Подскажите пожалуйста, где ошибка, или как дальше анализировать эффективность оценки.

[--mS--]

Производная от модуля не всюду существует. Посмотрите в условия неравенства Рао и Крмера и сделайте вывод.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Nexus0603
Наберите последнюю формулу $\TeX$ом, картинку удаляйте.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.