Помогите доказать, что последовательность бесконечно малая

[gris]

Что может быть противнее нуля...

[SlayZar]

)))
А если от противного, тогда надо доказать, что не существует положительного эбсцелена такого, чтоб выполнялось нер-во
модуль $a_n>=E$

Может быть тогда надо использовать то, что последний множитель равняется $\frac{n}{n^\alpha}$ стремится к нулю...

[provincialka]

Вспомните это:

assik в сообщении #790040 писал(а):

Если ненулевая числовая последовательность сходится, то неизбежно $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1$.

gris в сообщении #790045 писал(а):

Последовательность сходится. Предположим, что не к нулю. Вот что имел в виду assik

[gris]

Между прочим, давным-давно Виктор Ширшов получил интереснейший результат: длина окружности и её площадь не могут быть одновременно рациональными числами. Это я про ноль, есличо.

А про предел тоже придумалась интересная мысль. Надеюсь, что настойчивый ТС стремление к нулю докажет. Но вот можно ли сказать, что это стремление к нулю равномерно по альфе? Особенно, если сама альфа устремляется к единичке. Вообще, можно ли говорить о равномерности предела с параметром?

[SlayZar]

Спасибо большое всем за помощь! Вроде бы понял!
Сначала доказываю, что предел существую, а потом доказываю, что $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0$, а значит не равно единице, а значит бесконечно мала!
Еще раз спасибо!

[assik]

1. В книге Куранта и Робенса очень просто доказывается, что $\lim_{n \to \infty}\frac{\ln n!}{n\ln n}=1$. В дальнейшем понадобится.

2. $\lim_{n \to \infty}\frac{n^{n}}{\left ( n! \right )^\alpha}=\lim_{n \to\infty }e^ {\ln\frac{n^{n}}{\left ( n! \right )^\alpha}}=e^{\lim_{n \to \infty}{{\ln\frac{n^{n}}{\left ( n! \right )^\alpha}}}}=e^{\lim_{n \to \infty}\left ( n\ln n-\alpha \ln n! \right )}=e^{\lim_{n \to \infty}-n\ln n\left ( \alpha\frac{\ln n!}{n\ln n}-1 \right )}=e^{-\infty}=0$