Помогите доказать, что последовательность бесконечно малая

[gris]

Да, тут Вы правы абсолютно. У положительной последовательности предел отношения члена к предыдущему равен нулю. То есть начиная с некоторого момента меньше единицы. То есть последовательность убывает.
И ограничена снизу. То есть имеет предел. А вот какой? Вдруг ненулевой?

[SlayZar]

gris в сообщении #790011 писал(а):

Да, тут Вы правы абсолютно. У положительной последовательности предел отношения члена к предыдущему равен нулю. То есть начиная с некоторого момента меньше единицы. То есть последовательность убывает.
И ограничена снизу. То есть имеет предел. А вот какой? Вдруг ненулевой?

Да, по Вейерштрассу предел существует, но чтобы доказать, что он равен нулю, наверное всё же надо использовать теорему о двух миллиционерах, т.е найти последовательность, больше нашей, у кот. предел = 0
Но никак не получается...

[provincialka]

provincialka в сообщении #790010 писал(а):

С геометрической последовательностью сравните. Там отношение постоянно.

Если вы знаете отношения $b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$, можете ли вы по ним восстановить последовательность $a_n$?

[SlayZar]

provincialka в сообщении #790020 писал(а):

provincialka в сообщении #790010 писал(а):

С геометрической последовательностью сравните. Там отношение постоянно.

Если вы знаете отношения $b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$, можете ли вы по ним восстановить последовательность $a_n$?

Из равенства $b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ следует равенство $a_n=\frac{a_{n+1}}{b_n}$

В нашем случае $a_n = a_{n+1} (n+1)^\alpha$

-- 18.11.2013, 14:34 --

provincialka в сообщении #790020 писал(а):

provincialka в сообщении #790010 писал(а):

С геометрической последовательностью сравните. Там отношение постоянно.

Если вы знаете отношения $b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$, можете ли вы по ним восстановить последовательность $a_n$?

А, понял о чём вы говорите.

У нас геометрическая прогрессия.
$a_1 = 1$ ,
$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$= $\frac{1}{(n+1)^\alpha}$

и тогда $a_n = a_1 q^\((n-1)$ = $\frac{1}{(n+1)^\(\alpha (n-1))}$
$\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{(n+1)^\(\alpha (n-1))}}= 0$

Вроде так?!

[provincialka]

Где-то рядом. Ваше "$q$" непостоянно, у вас это последовательность $b_n$. Вы не сделали то, что я предлагала, не выразили $a_n$ через $b_n$. Я не имею в виду именно $n$-ый член, всю последовательность. Так же, как геометрическая прогрессия строится через $q$.

[assik]

Если ненулевая числовая последовательность сходится, то неизбежно $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1$.

[SlayZar]

provincialka в сообщении #790033 писал(а):

Где-то рядом. Ваше "$q$" непостоянно, у вас это последовательность $b_n$. Вы не сделали то, что я предлагала, не выразили $a_n$ через $b_n$. Я не имею в виду именно $n$-ый член, всю последовательность. Так же, как геометрическая прогрессия строится через $q$.

Не совсем понял, что вы имеете ввиду.
Нам надо из равенства $b_n=\frac{1}{(n+1)^\alpha} = \frac{a_{n+1}}{a_n}$ восстановить всю последовательность $a_n$?

$a_n = a_{n+1} (n+1)^\alpha$
$a_\\n-1\ = a_{n} n^\alpha$
...
$a_1 = a_{2} 2^\alpha$
Просто не понимаю как еще это можно сделать

[provincialka]

assik в сообщении #790040 писал(а):

Если ненулевая числовая последовательность сходится, то неизбежно \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1.

1. Вставьте тег math или "доллары" вокруг формулы.
2. Нет, не обязательно, если она стремится к 0. Пример - последовательность $\frac{1}{n!}$.

-- 18.11.2013, 15:09 --

SlayZar, вы знаете, как строится геометрическая прогрессия? Что такое рекуррентное равенство? Ладно, подскажу: $a_5=b_4\cdot a_4 = b_4\cdot b_3\cdot a_3 = b_4\cdot b_3\cdot b_2\cdot a_2 = ...$

[gris]

Последовательность сходится. Предположим, что не к нулю. Вот что имел в виду assik

[provincialka]

gris в сообщении #790045 писал(а):

Последовательность сходится. Предположим, что не к нулю. Вот что имел в виду assik

Вот хорошо бы он так и записал.

[SlayZar]

$a_n = a_\\n-1$$ b_\\n-1$ = $ \frac{a_\\n-1}{n^\alpha}$
$n^\alpha = \frac{a_\\n-1}{a_n}$ и значит $q= \frac{a_n}{a_\\n-1} $=$ \frac{1}{n^\alpha}$

$a_n = a_1 q^\((n-1)$ = $n^\alpha ({\frac{1}{n^\alpha})^n$ = $\frac{n^\alpha}{n^\alpha n^n}$= $\frac{1}{n^n}$
$\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{n^n}}}= 0$
Так?

[ИСН]

Какой-то из основоположников программирования сказал (про числа с плавающей точкой, но это сейчас неважно): "Это как перебрасывать кучи песка. При каждой операции теряешь немного песка и подбираешь немного грязи."
У Вас, SlayZar, при каждой операции теряется немного смысла, и наконец его совсем не остаётся. Чему было равно $a_n$ в самом начале, до того, как Вы принесли его на форум? Было ли оно равно $1\over n^n$? А как же оно им стало?

[provincialka]

Опять откуда ни возьмись появилось $q$. Нет его пока у вас. Его еще надо "добыть" из той кучи песка, о которой говорил ИСН

[gris]

Мудрейший ИСН сравнил песок со смыслом. Но с чем сравнить грязь? Что такого мы подобрали, пересыпая (или переливая) по дороге. Да вот: геометрическая прогрессия. Зачем она нужна?

[provincialka]

Да можно и без нее, если от противного.