Помогите доказать, что последовательность бесконечно малая

[SlayZar]

Помогите, пожалуйста, доказать, что предел равен нулю
$\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{n^n}{(n!)^\alpha}}= 0$ , при $\alpha>1$

Я пробовал доказать по теореме о двух миллиционерах, снизу ограничивал нулём, но не могу додуматься чем граничить сверху. Думаю, что надо как то использовать, что, если разделить дробь на произведения, то получится
$\frac{n}{(1)^\alpha}} \frac{n}{(2)^\alpha}} ... \frac{n}{(n-1)^\alpha}} \frac{n}{(n)^\alpha}}$
Последний член последовательности, безусловно, стремится к нулю, но нам же надо ограничить сверху... или может как то по-другому... помогите, пожалуйста!

[Null]

$n!>(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}$ что то вроде этого

[SlayZar]

Но у нас же в числстеле всегда n а не $n/2$

[gris]

А Стирлинга нельзя использовать?

[SlayZar]

gris в сообщении #789809 писал(а):

А Стирлинга нельзя использовать?

Нет, тоже нельзя к сожалению(

[mihiv]

Посмотрите, чему равно отношение $\dfrac {a_{n+1}}{a_n}$.

[gris]

Кстати, подлимитное выражение ведёт себя отнюдь не монотонно. Оно вначале возрастает, а потом убывает. Причём при альфе близкой к единице, максимум достигает необычайных высот, а точка максимума отодвигается вправо.

[SlayZar]

mihiv в сообщении #789849 писал(а):

Посмотрите, чему равно отношение $\dfrac {a_{n+1}}{a_n}$.

Получается
$\frac{(n!)^\alpha (n+1)^\((n+1)}{((n+1)!)^\alpha n^n}}$ = $\frac{(n+1)^n (n+1)}{(n+1)^\alpha n^n}}$ = ($\frac{n+1}{n})^n} \frac{(n+1)}{(n+1)^\alpha}}$ = ($1+1/n)^n} \frac{(n+1)}{(n+1)^\alpha}}$
Т.е. первый множитель стремится к e, а второй к нулю, но разве это нам что-то даёт?

[ИСН]

Посмотрите, как ведёт себя это отношение у известных последовательностей в зависимости от того, стремятся они к чему-то хорошему или нет.

[SlayZar]

ИСН в сообщении #789971 писал(а):

Посмотрите, как ведёт себя это отношение у известных последовательностей в зависимости от того, стремятся они к чему-то хорошему или нет.

Но ведь нам надо доказать что последовательность бесконечно малая, а не то что она убывает или возрастает...

[ИСН]

Значит, посмотрите, как ведёт себя это отношение у известных бесконечно малых последовательностей.

[SlayZar]

ИСН в сообщении #789984 писал(а):

Значит, посмотрите, как ведёт себя это отношение у известных бесконечно малых последовательностей.

В бесконечно малых последовательностях это отношение стремится к нулю, то есть нам достаточно доказать, что $\lim\limits_{n\to+\infty}((1+1/n)^n} \frac{(n+1)}{(n+1)^\alpha}})= 0$ И это будет означать что предел последовательности равен нулю?

И еще такая формула нам не поможет
$a_\( (n+1) = \frac{a_n}{(n+1)^\alpha}$

[ИСН]

Это Вы смотрели на какие известные бесконечно малые последовательности?

[SlayZar]

ИСН в сообщении #789996 писал(а):

Это Вы смотрели на какие известные бесконечно малые последовательности?

Например 1/x
$\frac{1}{x+1}}$ $\frac{x}{1}} $ = $\frac{x}{x+1}} $
Да, что то я напутал. Тут предел будет равен 1
Но что нам это дает? Или же важно то что все таки это выражение чуть меньше единицы и последовательность убывает?

[provincialka]

С геометрической последовательностью сравните. Там отношение постоянно.