О зеркальных пятизначных числах.

[LebedKun]

Зеркальное число - это число, цифры которого попарно равны относительно центра. Т.е. это числа, вида $\over x_0x_1x_2x_3...x_n...x_3x_2x_1x_0$ (для чисел с нечётным кол-вом цифр), либо $\over x_0x_1x_2x_3...x_nx_n...x_3x_2x_1x_0$ (с чётным кол-вом цифр), где $x_0$, $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_n$ - цифры. Например, $12321$ и $65433456$ - зеркальные числа.

Найти количество пятизначных зеркальных чисел, делящихся на 5.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

LebedKun, приведите попытки решения

[LebedKun]

Нет. Я эту задачу решил. Просто мне интересно, как её решат другие)

-- 12.10.2013, 19:59 --

Моё решение:

1. Цифры, делящиеся на 5, оканчиваются либо на $0$, либо на $5$. Если на конце будет $0$, то и в начале числа будет $0$, т.к. числа - зеркальные. Такое число уже не является 5-тизначным, значит 1-ая и 5-ая цифра - $5$ .
2. Найдём число всевозможных сочетаний 2-ой, 3-ей и 4-ой цифр:

2.1. 2-ая и 4-ая цифры будут равны, т.к. исходные числа - зеркальные.
2.2. Значит найдём число всевозможный сочетаний 2-ой и 3-ей цифры:

С 1-ой цифрой можно составить 10 различных сочетаний (т.к. цифр - $10$), значит с 2-мя - $10\cdot10=100$

3. Кол-во всевозможных 5-тизначных зеркальных чисел, делящихся на $5$ равно $100$ .

[arseniiv]

А что, эту задачу можно решить как-то совершенно по-другому?

[VAL]

LebedKun в сообщении #774270 писал(а):

Моё решение:

1. Цифры, делящиеся на 5, оканчиваются либо на $0$, либо на $5$. Если на конце будет $0$, то и в начале числа будет $0$, т.к. числа - зеркальные. Такое число уже не является 5-тизначным, значит 1-ая и 5-ая цифра - $5$ .
2. Найдём число всевозможных сочетаний 2-ой, 3-ей и 4-ой цифр:

2.1. 2-ая и 4-ая цифры будут равны, т.к. исходные числа - зеркальные.
2.2. Значит найдём число всевозможный сочетаний 2-ой и 3-ей цифры:

С 1-ой цифрой можно составить 10 различных сочетаний (т.к. цифр - $10$), значит с 2-мя - $10\cdot10=100$

3. Кол-во всевозможных 5-тизначных зеркальных чисел, делящихся на $5$ равно $100$ .

Все верно. За исключением терминологии. То, что вы называете "сочетаниями", на самом деле размещения с повторениями. (А сочетаний двух цифр всего 45.)

По поводу других решений. Можно, например, полным перебором. Но мне Ваше решение больше нравится

[LebedKun]

VAL в сообщении #774413 писал(а):

Все верно. За исключением терминологии. То, что вы называете "сочетаниями", на самом деле размещения с повторениями. (А сочетаний двух цифр всего 45.)

Но размещения с повторениями тоже являются в каком-то смысле сочетаниями (комбинациями).

З.Ы. А почему сочетаний 45?

[VAL]

LebedKun в сообщении #774501 писал(а):

VAL в сообщении #774413 писал(а):

Все верно. За исключением терминологии. То, что вы называете "сочетаниями", на самом деле размещения с повторениями. (А сочетаний двух цифр всего 45.)

Но размещения с повторениями тоже являются в каком-то смысле сочетаниями (комбинациями).

З.Ы. А почему сочетаний 45?

Термин "сочетание" имеет в комбинаторике строго определенный смысл. Это, по сути, подмножество рассматриваемого множества. Поэтому в сочетании не важен порядок порядок элементов и может быть повторов элементов.
А при записи числа важен порядок цифр и вполне возможно наличие одинаковых цифр. Такие комбинаторные соединения называются размещениями с повторениями.
Количество сочетаний (или биномиальный коэффициент) из $n$ элементов по $k$ обозначается $n\choose k$ или $C_n^k$ и вычисляется по формуле $\frac{n!}{(n-k)!k!}$. Отсюда и 45.