Факторизация матричного многочлена x^2+ B x + C

[bocovp]

Подскажите, всегда ли возможно представить многочлен $\mat{E} x^2 + \mat{B} x + \mat{C}$ в виде произведения $(\mat{E} x + \mat{Y})(\mat{E} x + \mat{Z})$.
Здесь $\mat{E}$ — единичная матрица. $\mat{B}, \mat{C}$ — комплексные матрицы, $x$ — скаляр.

Честно говоря, меня интересует даже более частный случай, когда матрицы имеют размер 2x2, причём $\mat{C}$ унитарна.

[Bulinator]

Т.е. всегда ли можно найти две $n\times n$ матрицы такие, что $Z+Y=B,\quad YZ=C$.
У вас получается $2n^2$ уравнений на $2n^2$ неизвестных. Т.е. получается, что всегда и даже, в некоторых случаях, однозначно.

[bocovp]

Bulinator в сообщении #764446 писал(а):

У вас получается $2n^2$ уравнений на $2n^2$ неизвестных. Т.е. получается, что всегда и даже, в некоторых случаях, однозначно.

Боюсь не всё так просто, ведь получившаяся система может оказаться несовместной...

[Bulinator]

Да, вы правы. Надо быть осторожнее.

[maxal]

Необходимым и достаточным условием является коммутативность матриц $B$ и $C$.
См. http://math.stackexchange.com/questions ... efficients

[bocovp]

maxal в сообщении #764569 писал(а):

Необходимым и достаточным условием является коммутативность матриц $B$ и $C$

Вот в этом примере матрицы B и C не коммутируют...

$$ E x^2 + \begin{bmatrix} 1 &-1\\ 1 &-1\\ \end{bmatrix} x+ \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix} = \left(E x+ \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix} \right) \left(E x+ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{bmatrix} \right) $$

(Мне кажется по приведённой ссылке решают чуть другую задачу)

[maxal]

В вашем примере они коммутируют с точностью до знака: $BC=-CB$. Проверьте аргументацию там, возможно этот случай тоже вписывается в условие.

[alcoholist]

bocovp в сообщении #764472 писал(а):

может оказаться несовместной

почти всегда совместна

[bocovp]

maxal в сообщении #764699 писал(а):

В вашем примере они коммутируют с точностью до знака: $BC=-CB$. Проверьте аргументацию там, возможно этот случай тоже вписывается в условие.

В указанной вами ссылке решается совсем другая задача. Там решается уравнение $E x^2 + Bx + C = 0$.

alcoholist в сообщении #765027 писал(а):

почти всегда совместна

У меня интерес скорее теоретический, поэтому "почти всегда" не устраивает. Вот здесь например нет решений

$$ E x^2 +\begin{bmatrix}0&1\\0&0 \end{bmatrix} $$