2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Факторизация матричного многочлена x^2+ B x + C
Сообщение16.09.2013, 14:43 
Подскажите, всегда ли возможно представить многочлен $\mat{E} x^2 + \mat{B} x + \mat{C}$ в виде произведения $(\mat{E} x + \mat{Y})(\mat{E} x + \mat{Z})$.
Здесь $\mat{E}$ — единичная матрица. $\mat{B}, \mat{C}$ — комплексные матрицы, $x$ — скаляр.

Честно говоря, меня интересует даже более частный случай, когда матрицы имеют размер 2x2, причём $\mat{C}$ унитарна.

 
 
 
 Re: Факторизация матричного многочлена x^2+ B x + C
Сообщение16.09.2013, 18:51 
Аватара пользователя
Т.е. всегда ли можно найти две $n\times n$ матрицы такие, что $Z+Y=B,\quad YZ=C$.
У вас получается $2n^2$ уравнений на $2n^2$ неизвестных. Т.е. получается, что всегда и даже, в некоторых случаях, однозначно.

 
 
 
 Re: Факторизация матричного многочлена x^2+ B x + C
Сообщение16.09.2013, 20:06 
Bulinator в сообщении #764446 писал(а):
У вас получается $2n^2$ уравнений на $2n^2$ неизвестных. Т.е. получается, что всегда и даже, в некоторых случаях, однозначно.

Боюсь не всё так просто, ведь получившаяся система может оказаться несовместной...

 
 
 
 Re: Факторизация матричного многочлена x^2+ B x + C
Сообщение16.09.2013, 21:08 
Аватара пользователя
Да, вы правы. Надо быть осторожнее.

 
 
 
 Re: Факторизация матричного многочлена x^2+ B x + C
Сообщение17.09.2013, 05:31 
Аватара пользователя
Необходимым и достаточным условием является коммутативность матриц $B$ и $C$.
См. http://math.stackexchange.com/questions ... efficients

 
 
 
 Re: Факторизация матричного многочлена x^2+ B x + C
Сообщение17.09.2013, 11:34 
maxal в сообщении #764569 писал(а):
Необходимым и достаточным условием является коммутативность матриц $B$ и $C$

Вот в этом примере матрицы B и C не коммутируют...
$$
E x^2 +
\begin{bmatrix}
1 &-1\\
1 &-1\\
\end{bmatrix}
x+
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0\\
\end{bmatrix}
=
\left(E x+
\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0\\
\end{bmatrix}
\right)
\left(E x+
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -1\\
\end{bmatrix}
\right)
$$

(Мне кажется по приведённой ссылке решают чуть другую задачу)

 
 
 
 Re: Факторизация матричного многочлена x^2+ B x + C
Сообщение17.09.2013, 17:25 
Аватара пользователя
В вашем примере они коммутируют с точностью до знака: $BC=-CB$. Проверьте аргументацию там, возможно этот случай тоже вписывается в условие.

 
 
 
 Re: Факторизация матричного многочлена x^2+ B x + C
Сообщение18.09.2013, 13:15 
Аватара пользователя
bocovp в сообщении #764472 писал(а):
может оказаться несовместной

почти всегда совместна

 
 
 
 Re: Факторизация матричного многочлена x^2+ B x + C
Сообщение18.09.2013, 13:41 
maxal в сообщении #764699 писал(а):
В вашем примере они коммутируют с точностью до знака: $BC=-CB$. Проверьте аргументацию там, возможно этот случай тоже вписывается в условие.

В указанной вами ссылке решается совсем другая задача. Там решается уравнение $E x^2 + Bx + C = 0$.

alcoholist в сообщении #765027 писал(а):
почти всегда совместна

У меня интерес скорее теоретический, поэтому "почти всегда" не устраивает. Вот здесь например нет решений
$$
E x^2 +\begin{bmatrix}0&1\\0&0
\end{bmatrix}
$$

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group