Доказать, что не имеется натуральных решений,...

[alexo2]

кроме тривиальных:
$x^3-(x-1)^3=2^p-1$

Прошу прощения, "где р>3 и непредставимо в виде:
$6k+1$
"

[function]

$x^3 -(x-1)^3<0 $ для любого действительного $x$, а $2^p -1>0$ для всех натуральных $p$. Или я чего-то не понимаю?

[Dan B-Yallay]

function в сообщении #759832 писал(а):

$x^3 -(x-1)^3<0 $ для любого действительного $x$,

С чего это вдруг? Попробуйте $x=1$

[function]

Ой, простите, поспешил . $x^3-(x-1)^3>0$.

[Евгений Машеров]

function в сообщении #759832 писал(а):

$x^3 -(x-1)^3<0 $ для любого действительного $x$, а $2^p -1>0$ для всех натуральных $p$. Или я чего-то не понимаю?

Эээ...
$$x^3 -(x-1)^3=3x^2-3x+1$

(Оффтоп)

С меня фуражка прапорщика Ясненько не слетела?

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #759837 писал(а):

(Оффтоп)

С меня фуражка прапорщика Ясненько не слетела?

(Оффтоп)

Слететь-то она слетела, но вот удачно ли приземлится --- надо проверять. Задача сводится к уравнению $3y^2+5=2^n$. Уравнения такого типа иногда допускают элементарное решение (как правило, эксплуатируется теория уравнений Пелля). Но если не повезёт, придётся применять тяжёлую артиллерию (искать целые точки на эллиптических кривых, например).

[Shadow]

nnosipov в сообщении #759856 писал(а):

Уравнения такого типа иногда допускают элементарное решение (как правило, эксплуатируется теория уравнений Пелля

Решается. n-нечетное по модулю 3, уравнение $2x^2-3y^2=5$ - рекурентная формула для решений
$x_n=10x_{n-1}-x_{n-2}$
Две серии решений:

$\\2,16\cdots\\ 4,38\cdots$
По модулю $992=31\cdot 32$ степенями двойки среди решений только $2,4,16$.
(Меньше может и есть, но не нашел)

[nnosipov]

Shadow в сообщении #759861 писал(а):

Решается.

Спасибо, что проверили, у меня энтузиазма не хватило. Какой-то нелёгкий День Знаний выдался ...

[alexo2]

А как учитывается условие непредставимости р? (Можно подробнее, - я недопонял )

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #759931 писал(а):

А как учитывается условие непредставимости р?

Никак. У Вашего уравнения просто конечное множество решений $(x,p)$ в произвольных натуральных числах. А именно, $(1,1)$, $(2,3)$ и $(7,7)$.

[alexo2]

Спасибо!..