Равномерные прыжки по тору

[Dave]

Пусть $q_1,q_2,\dots,q_k$ - произвольные действительные числа. Определим функцию $f$ как

$$f(x)=\sum\limits_{i=1}^k {h\bigl(\{q_ix\}\bigr)} \, ,$$

где $h(x)=x-x^2$, $\{\cdot\}$ - дробная часть числа. Докажите, что существует такая последовательность натуральных чисел $\{n_j\}_{j=1}^{\infty}$, что ряд

$$\sum_{j=1}^{\infty} {f(n_j)}$$

сходится.

[function]

Как-то всё это трудновато...

[Deggial]

function в сообщении #757890 писал(а):

Как-то всё это трудновато...

function, замечание за малосодержательное сообщение

[Dave]

(О сложности)

function в сообщении #757890 писал(а):

Как-то всё это трудновато...

Если вдуматься в то, что такое сходимость ряда и убрать лишнюю "обёртку", то именно этот вариант, в конечном итоге, совсем не сложен.
А вот что касается возможного продолжения задачи, то оно предвидится гораздо более интересным. Правда, пока есть только гипотеза, так что всему своё время

[Руст]

Пока изложенная часть задачи слишком тривиальная, чтобы представлять интерес писать решение.

[Dave]

Далее для любого вектора $\vec{q}=(q_1,q_2,\dots,q_n)$ в $\mathbb R^n$ рассматривается последовательность точек $A_m=\bigl(\{mq_1\},\{mq_2\},\dots,\{mq_n\}\bigr)$, $m=1,2,3,\dots$ .

Определение. Действительные числа $q_1,q_2,\dots,q_n$ называются рационально независимыми, если из соотношения $k_0+k_1q_1+k_2q_2+\dots+k_nq_n=0$ для некоторых целых $k_0,k_1,\dots,k_n$ следует: $k_0=k_1=\dots=k_n=0$.

Задача.
Докажите, что:
1. Множество $\{A_m \mid m \in \mathbb N\}$ всюду плотно в гиперкубе $[0,1]^n$ тогда и только тогда, когда координаты вектора $\vec{q}$ рационально независимы.
2. Более того, в случае рациональной независимости координат $\vec{q}$, соответствующая последовательность $A_m$ асимптотически равномерно распределена в вышеуказанном гиперкубе, т.е. для любого измеримого по Жордану множества $\mathcal A \subseteq [0,1]^n$, имеющего меру Жордана $\mu(\mathcal A)$ :

$$\lim_{M \to +\infty} \frac {\bigl|\{m \leqslant M \mid A_m \in \mathcal A \}\bigr|} M = \mu(\mathcal A).$$

[Руст]

Одновременное (с одним знаменателем) рациональное приближение чисел.

Достаточно разбить куб $[0,1]^n$ равномерно на $M=N^n$ частей. Тогда из $M+1$ точек $A_m$ найдется 2 $A_{m_1},A_{m_2}$, попавших в один маленький куб. Разница $|m_1-m_2|$ дасть общий знаменатель соответствующего приближения.

[Dave]

Руст в сообщении #758897 писал(а):

Одновременное (с одним знаменателем) рациональное приближение чисел.

Достаточно разбить куб $[0,1]^n$ равномерно на $M=N^n$ частей. Тогда из $M+1$ точек $A_m$ найдется 2 $A_{m_1},A_{m_2}$, попавших в один маленький куб. Разница $|m_1-m_2|$ дасть общий знаменатель соответствующего приближения.

Правильно. Это Вы решили исходную задачу. А продолжение, как я и говорил, сложнее и интереснее.

[g______d]

Dave в сообщении #758889 писал(а):

1. Множество $\{A_m \mid m \in \mathbb N\}$ всюду плотно в гиперкубе $[0,1]^n$ тогда и только тогда, когда координаты вектора $\vec{q}$ рационально независимы.
2. Более того, в случае рациональной независимости координат $\vec{q}$, соответствующая последовательность $A_m$ асимптотически равномерно распределена в вышеуказанном гиперкубе

А будет жульничеством сказать, что это следствие эргодической теоремы Биркгофа? Её условия выполнены, т. к. отображение сохраняет меру, а эргодичность следует из разложения в ряд Фурье.

[nikvic]

Dave в сообщении #758889 писал(а):

Определение. Действительные числа $q_1,q_2,\dots,q_n$ называются рационально независимыми, если из соотношения $k_0+k_1q_1+k_2q_2+\dots+k_nq_n=0$ для некоторых целых $k_0,k_1,\dots,k_n$ следует: $k_0=k_1=\dots=k_n=0$.

Чего-то не хватает. Корень из двойки и единица - рационально-независимы?

[Dave]

g______d в сообщении #761474 писал(а):

А будет жульничеством сказать, что это следствие эргодической теоремы Биркгофа? Её условия выполнены, т. к. отображение сохраняет меру, а эргодичность следует из разложения в ряд Фурье.

Во-первых, вышеупомянутая теорема даёт "почти всюду", а здесь нужно без "почти".
Во-вторых, использовать эту теорему - это стрелять из пушки по воробьям. Это, конечно, личное дело каждого, какими теоремами пользоваться, но элементарное решение, известное мне, хоть и не очень простое, но, по крайней мере, конструктивное (для первой части).

nikvic в сообщении #761477 писал(а):

Dave в сообщении #758889 писал(а):

Определение. Действительные числа $q_1,q_2,\dots,q_n$ называются рационально независимыми, если из соотношения $k_0+k_1q_1+k_2q_2+\dots+k_nq_n=0$ для некоторых целых $k_0,k_1,\dots,k_n$ следует: $k_0=k_1=\dots=k_n=0$.

Чего-то не хватает. Корень из двойки и единица - рационально-независимы?

Всего хватает. Корень из двойки и единица - рационально зависимы в этом понимании, т.к. можно взять $k_0=-1, k_1=0, k_2=1$.

[nnosipov]

Dave в сообщении #761495 писал(а):

Всего хватает

Хватать-то хватает, но почему бы просто не написать, что все эти числа иррациональны, и пользоваться привычным пониманием рациональной независимости? Режет глаз.

[Dave]

nnosipov в сообщении #761522 писал(а):

Хватать-то хватает, но почему бы просто не написать, что все эти числа иррациональны, и пользоваться привычным пониманием рациональной независимости? Режет глаз.

А каково "привычное понимание рациональной независимости"? Числа $\sqrt 2$ и $1-\sqrt 2$ рационально независимы в этом "привычном понимании"?

[nnosipov]

Как независимость векторов в векторном пространстве. Берём какое-нибудь числовое поле $L$, содержащее $\mathbb{Q}$. Его можно рассматривать как векторное пространство над $\mathbb{Q}$. Числа из $L$ могут быть независимы или зависимы (как векторы). В частности, числа $\sqrt{2}$ и $1-\sqrt{2}$ независимы над $\mathbb{Q}$.

Вы имеете в виду обычную независимость над $\mathbb{Q}$ чисел $1$, $q_1$, ..., $q_n$.

[Dave]

Не вижу причин, почему Ваше определение лучше. А если решающий эту задачу вообще не знает, что такое алгебраическое числовое поле? Ему что, обязательно нужно изучить соответствующий раздел алгебры? Моё условие (как и решение) не требует чего-то больше, чем начального курса анализа. Ну и обычной линейной алгебры. А определение вообще может понять любой школьник.
И к чему писать, что все числа иррациональны? Этого недостаточно, как показывает вышеприведённый пример.