сколько прямых пересекает все три прямые общего положения

[donny]

Господа, что то задача чрезвычайно простой выглядит. Собственно условие в сабже, но уточню, есть три прямые общего положения (все попарно скрещиваются и не существует плоскости параллельной всем трем прямым), найти число прямых пересекающих все три прямые. Вроде же как есть утверждение о том, что геометрическое место точек, состоящее из искомых прямых, является однополостным гиперболоидом, нет?

[Oleg Zubelevich]

что мешает написать систему уравнений? направляющие векторы трех заданных прямых принимаем за базисные векторы системы координат и вперед!

[donny]

мешает то, что либо эта задача в сущности очевидна, либо я не замечаю какого -- то бага.

[Oleg Zubelevich]

систему координат можно выбрать так, что уравнения прямых будут иметь вид

$$x=u,\quad y=0,\quad z=0$$

$$x=0,\quad y=v,\quad z=a$$

$$x=b,\quad y=c,\quad z=w$$

$u,v,w$ -- параметры на прямых
искомую прямую сразу пропустим через первые две:

$$x=u-ut,\quad y=vt,\quad z=at$$

$t$ -- параметр на искомой прямой

[apriv]

Это задача про кольцо Чжоу грассманиана $Gr(2,4)$. Он четырехмерен, а прямые, пересекающиеся с одной фиксированной, образуют подсхему коразмерности 1. Поэтому сразу понятно, что ответ «бесконечно много» (а на аналогичный вопрос про четыре прямых должен быть конечный ответ). Пересекая клетки Шуберта этого грассманиана, несложно посчитать и ответ для случая четырех прямых, и как выглядит набор прямых, пересекающих три данные: это объединение двух плоскостей (ну, или цикл, рационально эквивалентный ему). Например, когда две данные прямые пересекаются, а третья пересекает плоскость, проходящую через них, в точке, не лежащей на них, получаем в точности объединение двух плоскостей.

[ewert]

То, что решений бесконечно много -- геометрически очевидно (достаточно просто попытаться построить хоть одно такое решение). Вот почему это именно однополостной гиперболоид -- так сразу не скажу. Т.е. понятно, конечно, что если это поверхность второго порядка (а это откровенно поверхность), то ничем иным она быть не может; но почему именно второго -- как-то не придумывается. Ну и не вполне это гиперболоид; т.е. практически он, но кой-какие отдельные линии из него всё-таки выколоты.

[apriv]

Ну и да, поскольку она рационально эквивалентна объединению двух плоскостей, то это действительно поверхность второго порядка.

[donny]

apriv, спасибочки. это убедительно, респектую многократно, а то не гуманно угрожать людям аналитической геометрией, спасибо в школе натерпелись. да, если увеличить число исходных прямых до 4, то либо 2 искомых прямых, либо нету таких прямых, но там баянистое рассуждение про пространство квадрик.

ewert "Ну и не вполне это гиперболоид" это почему? по - моему в указанных условиях как раз он и получается.

[Oleg Zubelevich]

да, смешно

$$x(t,s)=\frac{b(1-s)}{1-t},\quad y(t,s)=\frac{cs}{t},\quad z(t,s)=as$$

$$x(y-cz/a)=by(1-z/a)$$

Шесть на три мы поделить не можем, но зато знаем, что такое поле действительных чисел. Все как Арнольд писал

[Aritaborian]

apriv, а можно... как-нибудь... решить эту задачу без этих, как их, грассманианов и их, прастихоспади, клеток Шуберта? Вы мне просто мозг вынесли. Я думал, тут всё относительно просто: ну, гиперболоид, всё такое.

[apriv]

Не знаю, наверное, можно. Смысл в том, что подобные задачи в рамках теории пересечений в алгебраической геометрии сводятся к механическим вычислениям. То есть, можно, конечно, изощренными способами решать отдельные квадратные уравнения, но все-таки при наличии общей формулы это занятие становится несколько бессмысленным.

[Aritaborian]

Спасибо, буду стремиться к пониманию алгебраической геометрии.

(Оффтоп)

ни тени сарказма

[ewert]

donny в сообщении #752712 писал(а):

"Ну и не вполне это гиперболоид" это почему?

А почему это вообще хоть какая-то, да поверхность?...

Фиксируем произвольную точку $M$ на прямой $L_1$. Прямые, проходящие через эту точку и прямую $L_2$, зачерчивают некоторую плоскость $P_M$ (без предельной прямой, конечно). При смещении точки $M$ вдоль прямой $L_1$ эта плоскость монотонно разворачивается вокруг $L_2$ на 180 градусов, стремясь в крайних положениях к плоскости $P_{\|}$, параллельной $L_1$ и $L_2$. Плоскость $P_M$ пересекается с прямой $L_3$ в некоторой точке $N_M$; тогда прямая $M\,N_M$ и будет той единственной прямой, которая проходит через точку $M$ и через две другие прямые. Совокупность таких прямых образует некоторую поверхность, параметризованную положением точки $M$.

Но! всё это верно лишь почти. Прямая $L_3$ не параллельна плоскости $P_{\|}$. Поэтому в некотором промежуточном положении $M=M_0$ (ровно одном) плоскость $P_M$ окажется параллельной прямой $L_3$ и потому её не пересечёт. По мере приближения к этому положению точка $N_M$ уходит, естественно, на бесконечность, но вот точка пересечения прямых $M\,N_M$ и $L_2$, наоборот, стремится к некоторой вполне определённой точке $K_0$. Соответственно, прямая $M_0K_0$ оказывается выколотой из поверхности. Все соседние с ней прямые в поверхности участвуют, а вот она -- нет.

[apriv]

Конечно, первым (нулевым) шагом при решении такой задачи является ее вложение в проективное пространство. Потому и кажется, будто какие-то там прямые выколоты.

[ewert]

(Оффтоп)

apriv в сообщении #752808 писал(а):

первым (нулевым) шагом при решении такой задачи является ее вложение в проективное пространство. Потому и кажется,

Сперва лучше поупражняться на кошках, в смысле на таблице умножения. Когда удастся доказать её проективными методами, тогда, возможно, и станет понятно, что кажется, а что есть.