2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 сколько прямых пересекает все три прямые общего положения
Сообщение05.08.2013, 23:11 
Господа, что то задача чрезвычайно простой выглядит. Собственно условие в сабже, но уточню, есть три прямые общего положения (все попарно скрещиваются и не существует плоскости параллельной всем трем прямым), найти число прямых пересекающих все три прямые. Вроде же как есть утверждение о том, что геометрическое место точек, состоящее из искомых прямых, является однополостным гиперболоидом, нет?

 
 
 
 Re: сколько прямых пересекает все три прямые общего положения
Сообщение05.08.2013, 23:26 
что мешает написать систему уравнений? направляющие векторы трех заданных прямых принимаем за базисные векторы системы координат и вперед!

 
 
 
 Re: сколько прямых пересекает все три прямые общего положения
Сообщение05.08.2013, 23:36 
мешает то, что либо эта задача в сущности очевидна, либо я не замечаю какого -- то бага.

 
 
 
 Re: сколько прямых пересекает все три прямые общего положения
Сообщение06.08.2013, 00:46 
систему координат можно выбрать так, что уравнения прямых будут иметь вид
$$x=u,\quad y=0,\quad z=0$$
$$x=0,\quad y=v,\quad z=a$$
$$x=b,\quad y=c,\quad z=w$$
$u,v,w$ -- параметры на прямых
искомую прямую сразу пропустим через первые две:
$$x=u-ut,\quad y=vt,\quad z=at$$
$t$ -- параметр на искомой прямой

 
 
 
 Re: сколько прямых пересекает все три прямые общего положения
Сообщение06.08.2013, 22:10 
Это задача про кольцо Чжоу грассманиана $Gr(2,4)$. Он четырехмерен, а прямые, пересекающиеся с одной фиксированной, образуют подсхему коразмерности 1. Поэтому сразу понятно, что ответ «бесконечно много» (а на аналогичный вопрос про четыре прямых должен быть конечный ответ). Пересекая клетки Шуберта этого грассманиана, несложно посчитать и ответ для случая четырех прямых, и как выглядит набор прямых, пересекающих три данные: это объединение двух плоскостей (ну, или цикл, рационально эквивалентный ему). Например, когда две данные прямые пересекаются, а третья пересекает плоскость, проходящую через них, в точке, не лежащей на них, получаем в точности объединение двух плоскостей.

 
 
 
 Re: сколько прямых пересекает все три прямые общего положения
Сообщение06.08.2013, 22:28 
То, что решений бесконечно много -- геометрически очевидно (достаточно просто попытаться построить хоть одно такое решение). Вот почему это именно однополостной гиперболоид -- так сразу не скажу. Т.е. понятно, конечно, что если это поверхность второго порядка (а это откровенно поверхность), то ничем иным она быть не может; но почему именно второго -- как-то не придумывается. Ну и не вполне это гиперболоид; т.е. практически он, но кой-какие отдельные линии из него всё-таки выколоты.

 
 
 
 Re: сколько прямых пересекает все три прямые общего положения
Сообщение06.08.2013, 22:44 
Ну и да, поскольку она рационально эквивалентна объединению двух плоскостей, то это действительно поверхность второго порядка.

 
 
 
 Re: сколько прямых пересекает все три прямые общего положения
Сообщение06.08.2013, 23:12 
apriv, спасибочки. это убедительно, респектую многократно, а то не гуманно угрожать людям аналитической геометрией, спасибо в школе натерпелись. да, если увеличить число исходных прямых до 4, то либо 2 искомых прямых, либо нету таких прямых, но там баянистое рассуждение про пространство квадрик.

ewert "Ну и не вполне это гиперболоид" это почему? по - моему в указанных условиях как раз он и получается.

 
 
 
 Re: сколько прямых пересекает все три прямые общего положения
Сообщение06.08.2013, 23:38 
да, смешно
$$x(t,s)=\frac{b(1-s)}{1-t},\quad y(t,s)=\frac{cs}{t},\quad z(t,s)=as$$
$$x(y-cz/a)=by(1-z/a)$$

Шесть на три мы поделить не можем, но зато знаем, что такое поле действительных чисел. Все как Арнольд писал

 
 
 
 Re: сколько прямых пересекает все три прямые общего положения
Сообщение07.08.2013, 00:29 
Аватара пользователя
apriv, а можно... как-нибудь... решить эту задачу без этих, как их, грассманианов и их, прастихоспади, клеток Шуберта? Вы мне просто мозг вынесли. :facepalm: Я думал, тут всё относительно просто: ну, гиперболоид, всё такое.

 
 
 
 Re: сколько прямых пересекает все три прямые общего положения
Сообщение07.08.2013, 02:27 
Не знаю, наверное, можно. Смысл в том, что подобные задачи в рамках теории пересечений в алгебраической геометрии сводятся к механическим вычислениям. То есть, можно, конечно, изощренными способами решать отдельные квадратные уравнения, но все-таки при наличии общей формулы это занятие становится несколько бессмысленным.

 
 
 
 Re: сколько прямых пересекает все три прямые общего положения
Сообщение07.08.2013, 02:29 
Аватара пользователя
Спасибо, буду стремиться к пониманию алгебраической геометрии.

(Оффтоп)

ни тени сарказма

 
 
 
 Re: сколько прямых пересекает все три прямые общего положения
Сообщение07.08.2013, 10:45 
donny в сообщении #752712 писал(а):
"Ну и не вполне это гиперболоид" это почему?

А почему это вообще хоть какая-то, да поверхность?...

Фиксируем произвольную точку $M$ на прямой $L_1$. Прямые, проходящие через эту точку и прямую $L_2$, зачерчивают некоторую плоскость $P_M$ (без предельной прямой, конечно). При смещении точки $M$ вдоль прямой $L_1$ эта плоскость монотонно разворачивается вокруг $L_2$ на 180 градусов, стремясь в крайних положениях к плоскости $P_{\|}$, параллельной $L_1$ и $L_2$. Плоскость $P_M$ пересекается с прямой $L_3$ в некоторой точке $N_M$; тогда прямая $M\,N_M$ и будет той единственной прямой, которая проходит через точку $M$ и через две другие прямые. Совокупность таких прямых образует некоторую поверхность, параметризованную положением точки $M$.

Но! всё это верно лишь почти. Прямая $L_3$ не параллельна плоскости $P_{\|}$. Поэтому в некотором промежуточном положении $M=M_0$ (ровно одном) плоскость $P_M$ окажется параллельной прямой $L_3$ и потому её не пересечёт. По мере приближения к этому положению точка $N_M$ уходит, естественно, на бесконечность, но вот точка пересечения прямых $M\,N_M$ и $L_2$, наоборот, стремится к некоторой вполне определённой точке $K_0$. Соответственно, прямая $M_0K_0$ оказывается выколотой из поверхности. Все соседние с ней прямые в поверхности участвуют, а вот она -- нет.

 
 
 
 Re: сколько прямых пересекает все три прямые общего положения
Сообщение07.08.2013, 10:49 
Конечно, первым (нулевым) шагом при решении такой задачи является ее вложение в проективное пространство. Потому и кажется, будто какие-то там прямые выколоты.

 
 
 
 Re: сколько прямых пересекает все три прямые общего положения
Сообщение07.08.2013, 10:58 

(Оффтоп)

apriv в сообщении #752808 писал(а):
первым (нулевым) шагом при решении такой задачи является ее вложение в проективное пространство. Потому и кажется,

Сперва лучше поупражняться на кошках, в смысле на таблице умножения. Когда удастся доказать её проективными методами, тогда, возможно, и станет понятно, что кажется, а что есть.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group