Функция делителей

[Ward]

Здравствуйте!

Пусть $e(t)=e^{2\pi i t}$ и $\tau(a)$ - число делителей $a$. Доказать, что

$$\tau(a)=\lim \limits_{\varepsilon \to 0}2\varepsilon \sum \limits_{0<x<\sqrt{a}}\sum \limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{e\left(\dfrac{ak}{x}\right)}{k^{1+\varepsilon}}+\delta,$$

где $\delta = \begin{cases} 1, & \text{if }a=n^2, n\in \mathbb{Z} \\ 0, &\text{if }a\neq n^2, n\in \mathbb{Z} \end{cases}$

Помогите пожалуйста.

[Sonic86]

Возможно, поможет то, что $\tau (a)-\delta=2\sum\limits_{0<x<\sqrt{a}, x\mid a}1$. Но я не проверил еще
upd: при $x\mid a$ все норм.
upd2: при $x\nmid a$ тоже. Ну с матанализом потренируетесь.

А откуда задача?

[Ward]

Sonic86
Я получил $\[\lim \limits_{\varepsilon \to 0}\left|2\varepsilon \sum \limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{e^{2\pi i \frac{ak}{x}}}{k^{1+\varepsilon}}\right|=0\]$
А как отсюда доказать, что $\[\lim \limits_{\varepsilon \to 0}2\varepsilon \sum \limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{e^{2\pi i \frac{ak}{x}}}{k^{1+\varepsilon}}=0\]$

[Deggial]

Ward в сообщении #750448 писал(а):

Я получил $\[\lim \limits_{\varepsilon \to 0}\left|2\varepsilon \sum \limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{e^{2\pi i \frac{ak}{x}}}{k^{1+\varepsilon}}\right|=0\]$
А как отсюда доказать, что $\[\lim \limits_{\varepsilon \to 0}2\varepsilon \sum \limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{e^{2\pi i \frac{ak}{x}}}{k^{1+\varepsilon}}=0\]$

Вы хотите узнать, как из $\lim\limits_{t\to 0}|g(t)|=0$ вывести $\lim\limits_{t\to 0}g(t)=0$? Думаю, это очень просто.

[Ward]

Deggial
Да для вещественных функций это просто. Но у нас ведь функция комплексного переменного ведь.

[Otta]

Господи, Ward, и весь этот ужас в стартовом посте ради этого? Вы бы лучше только это

Deggial в сообщении #750467 писал(а):

как из $\lim\limits_{t\to 0}|g(t)|=0$ вывести $\lim\limits_{t\to 0}g(t)=0$?

и написали.
Напишите определение соотв. предела. Первого, и если еще будет надо, второго.

Вещественность чисел тут не имеет никакого значения.

[Otta]

Прониклась. Нет, конечно, не ради этого. Это так, завершающий штрих, скорее. Один из.

[Ward]

Otta
Это наверное следует из того, что $|g(t)|=||g(t)||<\varepsilon$ Верно?

[Otta]

Да.

[Ward]

Otta
Благодарю!