2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Функция делителей
Сообщение29.07.2013, 18:32 
Здравствуйте!

Пусть $e(t)=e^{2\pi i t}$ и $\tau(a)$ - число делителей $a$. Доказать, что $$\tau(a)=\lim \limits_{\varepsilon \to 0}2\varepsilon \sum \limits_{0<x<\sqrt{a}}\sum \limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{e\left(\dfrac{ak}{x}\right)}{k^{1+\varepsilon}}+\delta,$$ где $\delta =
\begin{cases}
 1, & \text{if }a=n^2, n\in \mathbb{Z} \\
 0, &\text{if }a\neq n^2, n\in \mathbb{Z}
\end{cases}$

Помогите пожалуйста.

 
 
 
 Re: Функция делителей
Сообщение29.07.2013, 19:55 
Возможно, поможет то, что $\tau (a)-\delta=2\sum\limits_{0<x<\sqrt{a}, x\mid a}1$. Но я не проверил еще :oops:
upd: при $x\mid a$ все норм.
upd2: при $x\nmid a$ тоже. Ну с матанализом потренируетесь.

А откуда задача?

 
 
 
 Re: Функция делителей
Сообщение30.07.2013, 15:12 
Sonic86
Я получил $\[\lim \limits_{\varepsilon \to 0}\left|2\varepsilon \sum \limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{e^{2\pi i \frac{ak}{x}}}{k^{1+\varepsilon}}\right|=0\]$
А как отсюда доказать, что $\[\lim \limits_{\varepsilon \to 0}2\varepsilon \sum \limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{e^{2\pi i \frac{ak}{x}}}{k^{1+\varepsilon}}=0\]$

 
 
 
 Re: Функция делителей
Сообщение30.07.2013, 16:18 
Аватара пользователя
Ward в сообщении #750448 писал(а):
Я получил $\[\lim \limits_{\varepsilon \to 0}\left|2\varepsilon \sum \limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{e^{2\pi i \frac{ak}{x}}}{k^{1+\varepsilon}}\right|=0\]$
А как отсюда доказать, что $\[\lim \limits_{\varepsilon \to 0}2\varepsilon \sum \limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{e^{2\pi i \frac{ak}{x}}}{k^{1+\varepsilon}}=0\]$

Вы хотите узнать, как из $\lim\limits_{t\to 0}|g(t)|=0$ вывести $\lim\limits_{t\to 0}g(t)=0$? Думаю, это очень просто.

 
 
 
 Re: Функция делителей
Сообщение30.07.2013, 16:22 
Deggial
Да для вещественных функций это просто. Но у нас ведь функция комплексного переменного ведь.

 
 
 
 Re: Функция делителей
Сообщение30.07.2013, 18:29 
Господи, Ward, и весь этот ужас в стартовом посте ради этого? Вы бы лучше только это
Deggial в сообщении #750467 писал(а):
как из $\lim\limits_{t\to 0}|g(t)|=0$ вывести $\lim\limits_{t\to 0}g(t)=0$?

и написали.
Напишите определение соотв. предела. Первого, и если еще будет надо, второго.

Вещественность чисел тут не имеет никакого значения.

 
 
 
 Re: Функция делителей
Сообщение30.07.2013, 19:44 
Прониклась. Нет, конечно, не ради этого. Это так, завершающий штрих, скорее. Один из.

 
 
 
 Re: Функция делителей
Сообщение30.07.2013, 23:10 
Otta
Это наверное следует из того, что $|g(t)|=||g(t)||<\varepsilon$ Верно?

 
 
 
 Re: Функция делителей
Сообщение30.07.2013, 23:52 
Да.

 
 
 
 Re: Функция делителей
Сообщение31.07.2013, 00:03 
Otta
Благодарю!

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group