Вопрос, связанный со школьной программой

[BENEDIKT]

Благодарю за советы.

[BENEDIKT]

Вопрос: входит ли в стандартную (не матклассы) школьную программу решение кубических уравнений?

[mihailm]

Решение общих кубических уравнений нет, конкретных да

[ewert]

В точности так, но с точностью до наоборот.

Есть общие формулы для решения кубуров. Но они настолько неуклюжи, что никто из нормальных людей (даже в среде матшкол) ими пользоваться даже и не пытаются. Нет, они их (в матшколе) проходят, и проходят именно мимо.

[mihailm]

Не сбивайте с толку.
Общих формул в не матклассе (читайте вопрос) нет.
А конкретные кубические уравнения, которые можно решать изложенными ранее методами (например, разложением на множители), вполне допускаются, т.е. программой не запрещены.

[ewert]

mihailm в сообщении #842472 писал(а):

А конкретные кубические уравнения, которые можно решать изложенными ранее методами (например, разложением на множители), вполне допускаются, т.е. программой не запрещены.

А тогда они уже не обязательно кубические; они уже не важно какие.

[mihailm]

ewert в сообщении #844776 писал(а):

mihailm в сообщении #842472 писал(а):

А конкретные кубические уравнения, которые можно решать изложенными ранее методами (например, разложением на множители), вполне допускаются, т.е. программой не запрещены.

А тогда они уже не обязательно кубические; они уже не важно какие.

Совершенно верно

[nnosipov]

ewert в сообщении #842454 писал(а):

Есть общие формулы для решения кубуров. Но они настолько неуклюжи, что никто из нормальных людей (даже в среде матшкол) ими пользоваться даже и не пытаются.

Да ладно, неуклюжими они будут только в неприводимом случае, да и там есть исключения. Если дискриминант уравнения отрицательный, Вы по формуле Кардано почти всегда получите вещественный корень в адекватном (т.е. достаточно простом и неупрощаемом далее) виде, и без всяких раздумий при этом. Вот пример: $x^3-6x-6=0$, корень $x=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$. Другой пример: $x^3+3x+2=0$, корень $x=\sqrt[3]{-1+\sqrt{2}}-\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}$. Вот искать в обоих случаях корень другим способом было бы как раз извращением.

Если судить по книге
Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. М.: МЦНМО, 2006.
то в матклассах формулу Кардано совсем не игнорируют.

[mihailm]

Я примерно представляю, откуда ноги у вопроса про кубические уравнения растут.
Насколько помню, ни одного года в приемной комиссии не было, чтобы кто-нибудь не задал этот "сакральный" вопрос: "А по какому праву вы на экзамене даете кубические уравнения, ведь их в школе не проходят!!!".
Приходится спрашивать, а многочлены то в школе проходят? "Да", "Не может быть, а понятие корня многочлена только для квадратного трехчлена дается?", и т.д. и т.п.

[ewert]

nnosipov в сообщении #844826 писал(а):

Если дискриминант уравнения отрицательный, Вы по формуле Кардано почти всегда получите вещественный корень в адекватном (т.е. достаточно простом и неупрощаемом далее)

Печалька в том, что если все корни вещественны (что, собственно, если и не в большинстве, то в большей части случаев предполагается) -- то ни хрена вы вещественно не получите. Только комплексно. Потому Кардано и мало кому нужен. Проще численно.

Я уж не говорю о проблемах с численной неустойчивостью, связанной с карданами.

-- Пт апр 04, 2014 00:33:20 --

mihailm в сообщении #844840 писал(а):

ни одного года в приемной комиссии не было,

А у вас что, ещё и приёмная комиссия сохранилась?!! -- ну это уж явный рудимент, чтоб не сказать атавизм.

По существу же говоря -- я лично считаю игрища в угадайку корней да, откровенно неприличными. Есть гораздо более достойные способы дрессировки интеллекта. Там уже потом в вузе -- дело другое; там встречаются локальные темы, где это локально полезно; но там и подходить к ним принято сугубо технологически: мол, на сегодня-завтра мы это примем как правила игры, на послезавтра же забудем. Довлеет дневи типо злоба его.

[mihailm]

Я про славное прошлое

[nnosipov]

ewert в сообщении #845104 писал(а):

Печалька в том, что если все корни вещественны (что, собственно, если и не в большинстве, то в большей части случаев предполагается)

Это в какой такой "большей части"?! Когда одна половина (дискриминант больше нуля) вдруг стала больше другой половины (дискриминант меньше нуля)?

ewert в сообщении #845104 писал(а):

Потому Кардано и мало кому нужен.

А я говорю, что нужен. Школьникам маткласса нужно рассказать об этой формуле и научить ею правильно пользоваться. Вот, например, в том стиле, как в книжке Гашкова написано.

-- Пт апр 04, 2014 16:52:04 --

ewert в сообщении #845104 писал(а):

Я уж не говорю о проблемах с численной неустойчивостью, связанной с карданами.

А мы сейчас не численный анализ обсуждаем, а алгебру. Кубическое уравнение может содержать параметры, и явная зависимость корня от параметров может упростить исследование.

[ewert]

nnosipov в сообщении #845274 писал(а):

Школьникам маткласса нужно рассказать об этой формуле

Нужно.

nnosipov в сообщении #845274 писал(а):

и научить ею правильно пользоваться.

А вот это -- не нужно категорически. Т.е. нужно, конечно, научить её правильно понимать. Но вот пользоваться ею -- учить вредно, ибо практически никто и никогда ею не пользуется.

-- Пт апр 04, 2014 23:44:14 --

nnosipov в сообщении #845274 писал(а):

Это в какой такой "большей части"?!

Во-первых, нетривиальный случай -- именно этот. Во-вторых, если речь о поиске корней многочлена не наобум взятого, а какого-то идейного, то, скорее всего, корни будут именно вещественными. Скажем, если это какой-нибудь из ортогональных многочленов. Ну или характеристический многочлен эрмитовой матрицы, к примеру.

[nnosipov]

ewert в сообщении #845511 писал(а):

Т.е. нужно, конечно, научить её правильно понимать. Но вот пользоваться ею -- учить вредно, ибо практически никто и никогда ею не пользуется.

Понять --- это значит привыкнуть и научиться пользоваться.

ewert в сообщении #845511 писал(а):

Во-вторых, если речь о поиске корней многочлена не наобум взятого, а какого-то идейного, то, скорее всего, корни будут именно вещественными.

Позвольте не согласиться. Идейные примеры есть и в другом лагере. Скажем, минимальные многочлены элементов чисто кубических полей. Представьте, что Вы решаете уравнение $x^3+2y^3+4z^3-6xyz=a$ в целых числах $x$, $y$, $z$.

[ewert]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #845589 писал(а):

и научиться пользоваться.

Зачем учиться пользоваться заведомо ненужным?...

nnosipov в сообщении #845589 писал(а):

Представьте, что Вы решаете уравнение $x^3+2y^3+4z^3-6xyz=a$ в целых числах $x$, $y$, $z$.

Этого я даже в страшном сне не могу себе представить. Хотя кто-то решает, да; экзотики какой только не бывает.