2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 эллиптическая пластинка
Сообщение20.06.2013, 14:15 


10/02/11
6786
Изображение

Тонкая однородная пластинка массы $m$ в форме эллипса вращается с постоянной угловой скоростью $\overline \omega$. Вектор угловой скорости лежит в плоскости пластины.
Найти момент сил оносительно центра пластинки который приводит ее в движение.
Полуоси $a,b$ эллипса и угол $\alpha$ между полуосью эллипса и вектором угловой скорости известны.

 Профиль  
                  
 
 Re: эллиптическая пластинка
Сообщение20.06.2013, 15:41 
Аватара пользователя


10/01/12
314
Киев
Ноль.
А в чем подвох?

 Профиль  
                  
 
 Re: эллиптическая пластинка
Сообщение20.06.2013, 15:49 


10/02/11
6786
Нет, не ноль. В этом и подвох.

 Профиль  
                  
 
 Re: эллиптическая пластинка
Сообщение20.06.2013, 15:51 
Аватара пользователя


10/01/12
314
Киев
$$
\frac{d\vec{K}}{dt}=\vec{M}
$$
$$
K_i=I_{ij}\omega_j=const\quad\Rightarrow\quad  \vec{M}=0.
$$
И где тут ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: эллиптическая пластинка
Сообщение20.06.2013, 15:54 


10/02/11
6786
Ошибка есть. Но может кто-то решит.

 Профиль  
                  
 
 Re: эллиптическая пластинка
Сообщение21.06.2013, 09:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
lucien в сообщении #738774 писал(а):
$$K_i=I_{ij}\omega_j=const\quad\Rightarrow\quad  \vec{M}=0.$$И где тут ошибка?

В том, что слева стоит скалярное равенство, а справа -- векторное, и потому не следует.

Вы совершенно правы, момент импульса постоянен -- по величине. Но он ещё и крутится, отсюда и силы.

Если ось вращения совпадает с одной из полуосей, то тензор инерции диагонален, причём на диагонали стоят главные моменты, т.е. $J_a=\dfrac{ma^2}4$ и $J_b=\dfrac{mb^2}4$. При повороте оси внедиагональный элемент $(J_a-J_b)\sin\alpha\cos\alpha$ тензора инерции становится ненулевым; именно этот элемет после умножения на $\omega$ и даёт величину момента импульса.

 Профиль  
                  
 
 Re: эллиптическая пластинка
Сообщение21.06.2013, 09:42 


10/02/11
6786
И какой ответ?

 Профиль  
                  
 
 Re: эллиптическая пластинка
Сообщение21.06.2013, 09:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну продифференцируйте (т.е. умножьте ещё раз на омегу).

-- Пт июн 21, 2013 10:51:21 --

Да, под тензором инерции я понимал просто двумерный тензор $J_{ik}=\iint x_ix_k\,dm$; лень возиться с терминологией.

 Профиль  
                  
 
 Re: эллиптическая пластинка
Сообщение21.06.2013, 12:17 
Аватара пользователя


10/01/12
314
Киев
ewert в сообщении #739008 писал(а):
В том, что слева стоит скалярное равенство, а справа -- векторное
И где тут скаляры:
$$
\vec{K}=\int\rho[\vec{r}\times\vec{v}]dV,\quad \vec{M}=\sum[\vec{r}_i\times F_i]
$$
ewert в сообщении #739008 писал(а):
момент импульса постоянен -- по величине. Но он ещё и крутится
Подставляя в формулу для $\vec{K}$ выражение
$$
\vec{v}=[\vec{\omega}\times\vec{r}]
$$
получаем
$$
K_i=I_{ij}\omega_j
$$
Что тут и куда вращается?

 Профиль  
                  
 
 Re: эллиптическая пластинка
Сообщение21.06.2013, 12:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
lucien в сообщении #739055 писал(а):
Что тут и куда вращается?

Система координат вращается. Вы использовали тензор инерции, выписанный относительно вращающейся системы координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: эллиптическая пластинка
Сообщение21.06.2013, 14:23 
Аватара пользователя


10/01/12
314
Киев
Хорошая задача, неожиданно. Момент сил тоже будет вращаться, в среднем равен нулю, но модуль постоянный и равен $\left|[\vec{K}\times\vec{\omega}]\right|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: эллиптическая пластинка
Сообщение21.06.2013, 14:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну физически-то наличие момента заранее очевидно -- пластинка же не может свободно вращаться вокруг перекошенной оси.

 Профиль  
                  
 
 Re: эллиптическая пластинка
Сообщение21.06.2013, 16:55 
Аватара пользователя


10/01/12
314
Киев
ewert в сообщении #739094 писал(а):
Ну физически-то наличие момента заранее очевидно -- пластинка же не может свободно вращаться вокруг перекошенной оси.

Это чавой-то не может? Прибейте на краях пластинки скобочки, проденьте через них жесткую проволочку, закрепите ее концы и толкните пластинку. Она будет вращаться (и не остановится).

 Профиль  
                  
 
 Re: эллиптическая пластинка
Сообщение21.06.2013, 17:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
lucien в сообщении #739153 писал(а):
Прибейте на краях пластинки скобочки, проденьте через них жесткую проволочку, закрепите ее концы и толкните пластинку.

А когда оковы тяжкие падут -- так и будет продолжать крутиться?...

 Профиль  
                  
 
 Re: эллиптическая пластинка
Сообщение21.06.2013, 17:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Эти скобочки для того и нужны, чтобы создавать нужный момент.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Geen


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group