эллиптическая пластинка

[Oleg Zubelevich]

Тонкая однородная пластинка массы $m$ в форме эллипса вращается с постоянной угловой скоростью $\overline \omega$. Вектор угловой скорости лежит в плоскости пластины.
Найти момент сил оносительно центра пластинки который приводит ее в движение.
Полуоси $a,b$ эллипса и угол $\alpha$ между полуосью эллипса и вектором угловой скорости известны.

[lucien]

Ноль.
А в чем подвох?

[Oleg Zubelevich]

Нет, не ноль. В этом и подвох.

[lucien]

$$ \frac{d\vec{K}}{dt}=\vec{M} $$

$$ K_i=I_{ij}\omega_j=const\quad\Rightarrow\quad \vec{M}=0. $$

И где тут ошибка?

[Oleg Zubelevich]

Ошибка есть. Но может кто-то решит.

[ewert]

lucien в сообщении #738774 писал(а):

$$K_i=I_{ij}\omega_j=const\quad\Rightarrow\quad \vec{M}=0.$$

И где тут ошибка?

В том, что слева стоит скалярное равенство, а справа -- векторное, и потому не следует.

Вы совершенно правы, момент импульса постоянен -- по величине. Но он ещё и крутится, отсюда и силы.

Если ось вращения совпадает с одной из полуосей, то тензор инерции диагонален, причём на диагонали стоят главные моменты, т.е. $J_a=\dfrac{ma^2}4$ и $J_b=\dfrac{mb^2}4$. При повороте оси внедиагональный элемент $(J_a-J_b)\sin\alpha\cos\alpha$ тензора инерции становится ненулевым; именно этот элемет после умножения на $\omega$ и даёт величину момента импульса.

[Oleg Zubelevich]

И какой ответ?

[ewert]

Ну продифференцируйте (т.е. умножьте ещё раз на омегу).

-- Пт июн 21, 2013 10:51:21 --

Да, под тензором инерции я понимал просто двумерный тензор $J_{ik}=\iint x_ix_k\,dm$; лень возиться с терминологией.

[lucien]

ewert в сообщении #739008 писал(а):

В том, что слева стоит скалярное равенство, а справа -- векторное

И где тут скаляры:

$$ \vec{K}=\int\rho[\vec{r}\times\vec{v}]dV,\quad \vec{M}=\sum[\vec{r}_i\times F_i] $$

ewert в сообщении #739008 писал(а):

момент импульса постоянен -- по величине. Но он ещё и крутится

Подставляя в формулу для $\vec{K}$ выражение

$$ \vec{v}=[\vec{\omega}\times\vec{r}] $$

получаем

$$ K_i=I_{ij}\omega_j $$

Что тут и куда вращается?

[ewert]

lucien в сообщении #739055 писал(а):

Что тут и куда вращается?

Система координат вращается. Вы использовали тензор инерции, выписанный относительно вращающейся системы координат.

[lucien]

Хорошая задача, неожиданно. Момент сил тоже будет вращаться, в среднем равен нулю, но модуль постоянный и равен $\left|[\vec{K}\times\vec{\omega}]\right|$.

[ewert]

Ну физически-то наличие момента заранее очевидно -- пластинка же не может свободно вращаться вокруг перекошенной оси.

[lucien]

ewert в сообщении #739094 писал(а):

Ну физически-то наличие момента заранее очевидно -- пластинка же не может свободно вращаться вокруг перекошенной оси.

Это чавой-то не может? Прибейте на краях пластинки скобочки, проденьте через них жесткую проволочку, закрепите ее концы и толкните пластинку. Она будет вращаться (и не остановится).

[ewert]

lucien в сообщении #739153 писал(а):

Прибейте на краях пластинки скобочки, проденьте через них жесткую проволочку, закрепите ее концы и толкните пластинку.

А когда оковы тяжкие падут -- так и будет продолжать крутиться?...

[svv]

Эти скобочки для того и нужны, чтобы создавать нужный момент.