2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение11.06.2013, 07:27 
Ktina в сообщении #735205 писал(а):
xmaister в сообщении #735196 писал(а):
Ни при каком, вроде бы. Аддитивная подгруппа $\mathbb{R}$ либо плотна либо циклична, значит $\cos nx$ либо плотно, либо дискретно.

А более простого док-ва нет?

$\cos {2nx}=2\cos^2{nx}-1$

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение11.06.2013, 09:45 
Аватара пользователя
Cash в сообщении #735268 писал(а):
А более простого док-ва нет?

А что тут сложного? Ну разве что доказать, что всяка подгруппа $(\mathbb{R},+)$ либо цилкинча либо плотна :-) хотя это вовсе не сложно. Плотность отметаем сразу из-за непрерывности косинуса. Циклические группы мы знаем какие. Остается рассмотреть изоморфные $\mathbb{Z}$, но тут надо делать аккуратно (Я поленился :-) ). На вскидку, не должно возникнуть проблем.

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение11.06.2013, 10:29 
xmaister, но надеюсь Вы не станете спорить, что рассуждение:
из формулы $\cos {2nx}=2\cos^2{nx}-1$ вытекает, что если $|\cos {nx}| < \frac12$, то $|\cos {2nx}| > \frac12$
всё-таки несколько проще :wink:

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение11.06.2013, 13:19 
Аватара пользователя
Согласен, просто я как всегда ссылаюсь на немного более сложный факт, который в исходной постановке оказался вовсе не нужным. Тем не менее фокусы с подгруппой $G=\{nx+2\pi m|n,m\in\mathbb{Z}\}\subset\mathbb{R}$- классика, вроде как :-). Случай $G\cong \mathbb{Z}$ оказывается тоже тривиальный. Действительно, получаем что $x=q\pi,q\in\mathbb{Q}$.

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group