Найти область сходимости ряда

[Ktina]

Найти область сходимости ряда

$$\sum^{\infty}_{n=1} \cos nx$$

Раз он в нулю расходится, значит, по теореме Абеля... стоп-машина! Он же не степенной. А как тогда быть?

[Xaositect]

Необходимое условие сходимости.

[Ktina]

Xaositect в сообщении #735176 писал(а):

Необходимое условие сходимости.

Общий член стремится к нулю.
А разве тут он хоть при каком-нибудь $x$ к нулю стремится?

[xmaister]

Ktina в сообщении #735177 писал(а):

А разве тут он хоть при каком-нибудь $x$ к нулю стремится?

Ни при каком, вроде бы. Аддитивная подгруппа $\mathbb{R}$ либо плотна либо циклична, значит $\cos nx$ либо плотно, либо дискретно.

[Ktina]

xmaister в сообщении #735196 писал(а):

Ни при каком, вроде бы. Аддитивная подгруппа $\mathbb{R}$ либо плотна либо циклична, значит $\cos nx$ либо плотно, либо дискретно.

А более простого док-ва нет?

[sopor]

Есть ещё вариант - напрямую посчитать частичные суммы, там будет видно, что предела нет.

[Legioner93]

sopor в сообщении #735220 писал(а):

Есть ещё вариант - напрямую посчитать частичные суммы, там будет видно, что предела нет.

Первый миллион частичных сумм вообще никак не влияет на сходимость ряда. Вы до какой предлагаете считать? И при каком $x$?

[Otta]

Legioner93 в сообщении #735235 писал(а):

Первый миллион частичных сумм вообще никак не влияет на сходимость ряда. Вы до какой предлагаете считать?

Ну дык они же в общем виде считаются. Правда, хрен редьки слаще не выходит.

[Legioner93]

Otta
Если это имелось ввиду, то извиняюсь:) Просто вспомнил тему про предел $\sin{n!}$, там один товарищ именно численно считал первые 20-30 значений и отсюда делал вывод, что колебания будут продолжаться и дальше, поэтому предела не будет

А какое тут выражение получается для частичных сумм, кстати?

[sopor]

Legioner93 в сообщении #735242 писал(а):

Otta
Если это имелось ввиду, то извиняюсь:) Просто вспомнил тему про предел $\sin{n!}$, там один товарищ именно численно считал первые 20-30 значений и отсюда делал вывод, что колебания будут продолжаться и дальше, поэтому предела не будет

А какое тут выражение получается для частичных сумм, кстати?

Да, это и имелось в виду. Выражение можно получить как $\operatorname{Re} \sum \limits _{n=1}^{m} (\cos(x)+i\sin(x))^n$. Теперь геом. прогрессия, а потом нужно будет домножать на сопряжённое, короче говоря, я поленился Воспользовался Вольфрамом, он посчитал


А Вольфрам сообщил вот что: $\csc(\frac{x}{2})\sin(\frac{mx}{2})\cos(\frac{(m+1)x}{2})$

[Otta]

sopor в сообщении #735244 писал(а):

Выражение можно получить как

Можно так. А можно $S_n$ домножить на $\cos (x/2)$. Получится много-много разностей синусов, почти все уйдут, и останется $\cos(x/2) S_n = 1/2\bigl(\sin (x/2)-\sin((n+1)x/2)\bigr)$.
Последнюю разность можно свернуть, конечно, но для наших целей это еще хуже.

[sopor]

Да, хороший метод.
В общем, вопрос теперь такой - можно ли, устремляя n к бесконечности, утверждать, что $\sin(\frac{x(n+1)}{2})$ не имеет предела? Интуитивно это вроде понятно

[Otta]

Мне, на самом деле, кажется, что больше шансов у такой конструкции

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \cos kx =\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}-1.$$

[Legioner93]

sopor в сообщении #735246 писал(а):

Да, хороший метод.
В общем, вопрос теперь такой - можно ли, устремляя n к бесконечности, утверждать, что $\sin(\frac{x(n+1)}{2})$ не имеет предела? Интуитивно это вроде понятно

А зачем суммировать тогда?
Ведь если $\cos{nx}$ не имеет предела, то и ряд не сходится.

[Otta]

Legioner93 в сообщении #735250 писал(а):

А зачем суммировать тогда?

Незачем. О чём я и говорю: в данном случае лучше не будет.

-- 11.06.2013, 05:02 --

Пардон, не заметила опечатку:

Otta в сообщении #735249 писал(а):

$$ 2 \sum_{k=1}^{\infty} \cos kx =\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}-1.$$