2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Найти область сходимости ряда
Сообщение10.06.2013, 22:59 
Аватара пользователя
Найти область сходимости ряда $$\sum^{\infty}_{n=1} \cos nx$$
Раз он в нулю расходится, значит, по теореме Абеля... стоп-машина! Он же не степенной. А как тогда быть?

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение10.06.2013, 23:04 
Аватара пользователя
Необходимое условие сходимости.

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение10.06.2013, 23:06 
Аватара пользователя
Xaositect в сообщении #735176 писал(а):
Необходимое условие сходимости.

Общий член стремится к нулю.
А разве тут он хоть при каком-нибудь $x$ к нулю стремится?

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение10.06.2013, 23:44 
Аватара пользователя
Ktina в сообщении #735177 писал(а):
А разве тут он хоть при каком-нибудь $x$ к нулю стремится?

Ни при каком, вроде бы. Аддитивная подгруппа $\mathbb{R}$ либо плотна либо циклична, значит $\cos nx$ либо плотно, либо дискретно.

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение11.06.2013, 00:07 
Аватара пользователя
xmaister в сообщении #735196 писал(а):
Ни при каком, вроде бы. Аддитивная подгруппа $\mathbb{R}$ либо плотна либо циклична, значит $\cos nx$ либо плотно, либо дискретно.

А более простого док-ва нет?

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение11.06.2013, 00:49 
Аватара пользователя
Есть ещё вариант - напрямую посчитать частичные суммы, там будет видно, что предела нет.

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение11.06.2013, 01:09 
Аватара пользователя
sopor в сообщении #735220 писал(а):
Есть ещё вариант - напрямую посчитать частичные суммы, там будет видно, что предела нет.

Первый миллион частичных сумм вообще никак не влияет на сходимость ряда. Вы до какой предлагаете считать? И при каком $x$?

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение11.06.2013, 01:12 
Legioner93 в сообщении #735235 писал(а):
Первый миллион частичных сумм вообще никак не влияет на сходимость ряда. Вы до какой предлагаете считать?

Ну дык они же в общем виде считаются. Правда, хрен редьки слаще не выходит. :-(

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение11.06.2013, 01:27 
Аватара пользователя
Otta
Если это имелось ввиду, то извиняюсь:) Просто вспомнил тему про предел $\sin{n!}$, там один товарищ именно численно считал первые 20-30 значений и отсюда делал вывод, что колебания будут продолжаться и дальше, поэтому предела не будет :-)

А какое тут выражение получается для частичных сумм, кстати?

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение11.06.2013, 01:39 
Аватара пользователя
Legioner93 в сообщении #735242 писал(а):
Otta
Если это имелось ввиду, то извиняюсь:) Просто вспомнил тему про предел $\sin{n!}$, там один товарищ именно численно считал первые 20-30 значений и отсюда делал вывод, что колебания будут продолжаться и дальше, поэтому предела не будет :-)

А какое тут выражение получается для частичных сумм, кстати?



Да, это и имелось в виду. Выражение можно получить как $\operatorname{Re} \sum \limits _{n=1}^{m} (\cos(x)+i\sin(x))^n$. Теперь геом. прогрессия, а потом нужно будет домножать на сопряжённое, короче говоря, я поленился :| Воспользовался Вольфрамом, он посчитал


А Вольфрам сообщил вот что: $\csc(\frac{x}{2})\sin(\frac{mx}{2})\cos(\frac{(m+1)x}{2})$

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение11.06.2013, 01:54 
sopor в сообщении #735244 писал(а):
Выражение можно получить как

Можно так. А можно $S_n$ домножить на $\cos (x/2)$. Получится много-много разностей синусов, почти все уйдут, и останется $\cos(x/2) S_n = 1/2\bigl(\sin (x/2)-\sin((n+1)x/2)\bigr)$.
Последнюю разность можно свернуть, конечно, но для наших целей это еще хуже.

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение11.06.2013, 02:05 
Аватара пользователя
Да, хороший метод.
В общем, вопрос теперь такой - можно ли, устремляя n к бесконечности, утверждать, что $\sin(\frac{x(n+1)}{2})$ не имеет предела? Интуитивно это вроде понятно

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение11.06.2013, 02:17 
Мне, на самом деле, кажется, что больше шансов у такой конструкции
$$
\sum_{k=1}^{\infty} \cos kx =\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}-1.$$

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение11.06.2013, 02:34 
Аватара пользователя
sopor в сообщении #735246 писал(а):
Да, хороший метод.
В общем, вопрос теперь такой - можно ли, устремляя n к бесконечности, утверждать, что $\sin(\frac{x(n+1)}{2})$ не имеет предела? Интуитивно это вроде понятно

А зачем суммировать тогда? :D
Ведь если $\cos{nx}$ не имеет предела, то и ряд не сходится.

 
 
 
 Re: Найти область сходимости ряда
Сообщение11.06.2013, 02:37 
Legioner93 в сообщении #735250 писал(а):
А зачем суммировать тогда?

Незачем. О чём я и говорю: в данном случае лучше не будет.

-- 11.06.2013, 05:02 --

Пардон, не заметила опечатку:
Otta в сообщении #735249 писал(а):
$$
2 \sum_{k=1}^{\infty} \cos kx =\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}-1.$$

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group