Теория Групп.

[Darkdanver]

Здравствуйте. Не могу никак решить задачу:
Найти некоммутативную группу наименьшего порядка, которая раскладывается в прямое произведение собственных подгрупп.

[Sonic86]

Привет!
Как Вы пытались решить задачу?
Как можно ограничить мощность группы сверху?

[Darkdanver]

Да пытался. Я использовал критерий разложимости группы в прямое произведение.
G изоморфна прямому произведению A x B тогда и только тогда, когда в G есть нормальные подгруппы А_ и B_ со след. требованиями:
1) А_ изоморфна А, В_ изоморфна В.
2) Пересечение А_ и В_ - это нейтральный элемент
3) Любой элемент из G можно получить произведением ab, где a из А_ и b из B_

Ограничений на мощность группы нет.
Сначала я перебирал симметрические группы, ничего не вышло.
Группу бесконечного порядка я вроде нашел.
G = невырожденные матрицы 2 х 2, A = {E, -E} , B = {H | |H|>0}
Но это не решение, если не доказать отсутствие нужных групп конечного порядка.

[Sonic86]

(формулы)

Ой! А можете формулы в Латехе оформлять? Хотя бы долларами окружайте их. А то придет злой модератор...

Darkdanver в сообщении #734557 писал(а):

Ограничений на мощность группы нет.

Это я Вам предлагал так начать решать

Darkdanver в сообщении #734557 писал(а):

Сначала я перебирал симметрические группы, ничего не вышло.

Т.е. Вы пытались брать известные Вам примеры некоммутативных групп - симметрические группы $S_n$.
Наводящий вопрос: как можно еще найти некоммутативные группы? Можно ли строить новые некоммутативные группы из старых? Каким образом?
Какую некоммутативную подгруппу наименьшей мощности Вы знаете?
(я просто не хочу Вам свое решение навязывать, м.б. Вы что-то свое придумаете)

[Darkdanver]

Я вас понял, спасибо.

[AV_77]

Вы начните с прямого произведения. Пусть $G = A \times B$. Какими свойствами должны обладать $A$ и $B$, чтобы удовлетворять условию задачи? Могут они быть
1) обе абелевыми;
2) одна абелева, вторая нет;
3) обе неабелевы?
Какие абелевы и неабелевы группы наименьшего порядка вы знаете?

[Darkdanver]

Чтобы произведение 2ух групп было абелевым, они обе должны быть абелевыми. Так что в моем распоряжении 2) и 3). Я думаю взять S3 и Z2

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Darkdanver, наберите формулы $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.