Численное решение уравнения Шредингера

[Heaton]

Доброго времени суток. Я делаю , так сказать, небольшой доклад на тему Движение частицы в центрально-симметричном поле. Т.е. нужно решить уравнение Шредингера в сферичекских координатах , и в итоге полчить значения E . Я нашел общее решения через функции Бесселя и функции ГАнкеля, осталось подобрать численный метод для его решения, а вот тут начинается мой вопрос, как можно локализовать корни в моём общем решении.Решение представленно в отчёте http://www.sendspace.com/file/v3tw99 , заранее спасибо. (заранее извиняюсь за ошибки , я не физик)

[GAA]

Heato, пожалуйста, наберите точную постановку задачи и решение в тексте сообщения. Как набирать формулы см. в темах «Краткий ФАК по тегу math» и Первые шаги в наборе формул.

Скорее всего, тема будет перенесена в раздел Помогите решить / разобраться (Ф).

[Munin]

А почему во всех учебниках получается радиальная часть в элементарных функциях, без Бесселя и без Ганкеля, не подскажете?

[Heaton]

В учебниках, о котрых видимо вы говорите, получают ассимптотичское решение. Моя же задача получить общее решение.

[Munin]

Heaton в сообщении #733863 писал(а):

В учебниках, о котрых видимо вы говорите, получают ассимптотичское решение.

Как это? Последний раз, когда я их открывал, это было не так.

[svv]

Heaton писал(а):

Решение представленно в отчёте http://www.sendspace.com/file/v3tw99

Да у Вас там ещё и вирус.
Люди, будьте осторожны.

[Munin]

Тьфу, гадость. Я открывал через Google Docs, вот и не заметил.

Приличные люди предоставляют PDF, а для такого количества выкладок - можно и LaTeX на форуме.

[GAA]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Вначале текст решения сбивчивый и содержит массу опечаток. Если Вы не физик, не математик и разбираться не планируете, то начало можно переписать из книги
Савельев И.В. Основы теоретической физики. Т.2. Квантовая механика. (djvu)

Как я понял, интересующий Вас фрагмент начинается с поиска решений уравнения
$r^2 \frac{d^2 R(r)}{dr^2} + 2r\frac{d R(r)}{dr} + \left(\frac {2m_0}{\hbar}(E-V(r))r^2-l(l+1)\right)R(r)=0$.

Вводя обозначение $k = \sqrt {\frac {2m_0}{\hbar}(E-V(r))}$, Вы при помощи замены $z=kr$ приходите к уравнению $z^2R’’(z) +2zR’(z) + [z^2 - (l+1)l] R(z) = 0$. Общее решение этого уравнения можно записать в виде

$R(z) = C_1j_l(z) + C_2y_l(z),$

где $j_l$ и $y_l$ сферические функции Бесселя первого и второго рода, соответственно ($j_l = \sqrt {\pi/(2z)} J_{l+1/2}(z)$, $y_l = \sqrt {\pi/(2z)} Y_{l+1/2}(z)$; сферические функции второго рода выражаются через сферические функции первого рода; $y_l (z) = (-1)^{l+1}j_{-l-1}(z)$). Или в виде

$R(z)=C_1h_l^{(1)} + C_2 h_l^{(2)},$

где $h_l^{(1)} = j_l(z) +iy_l(z)= \sqrt {\pi/(2z)}H_{l+1/2}^{(1)}(z)$, $h_l^{(2)} = j_l(z) -iy_l(z) = \sqrt {\pi/(2z)}H_{l+1/2}^{(2)}(z)$ сферические функции Ханкеля.

Возвращаясь к исходной переменной $r$, получаете
при $r < r_0$: $ R(r) = C_1j_l(k_1r)+ C_2y_l(k_1r)$, $k_1 = \sqrt {\frac {2m_0}{\hbar}(E-V_1)}$;
при $r > r_0$: $ R(r) = C_3h_l^{(1)}(k_2r)+ C_4h_l^{(2)}(k_2r)$, $k_2 = \sqrt {\frac {2m_0}{\hbar}(E-V_2)}$.

Тут Вы не указали, почему при $r > r_0$ используются сферические функции Ханкеля, а при $r < r_0$ — сферические функции Бесселя (какими асимптотическими свойствами пользуетесь?). Далее из каких-то соображений Вы нашли постоянные $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$, но не написали из каких. Пожалуйста, отредактируйте начальное сообщение. Напишите точно: о каком потенциале идет речь, как Вы ищете $R(r)$ и что конкретно вызывает затруднения. Возьмите за основу тот текст, который я набрал для Вас.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

Редактирование: исправил «pdf» на «djvu». (8.06.13)