2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Пересечение сигма-алгебр
Сообщение04.06.2013, 21:26 
Кто-то может привести пример двух $\sigma$-алгебр, пересечение которых не пусто и не является $\sigma$-алгеброй?

 
 
 
 Re: Пересечение сигма-алгебр
Сообщение04.06.2013, 23:42 
Аватара пользователя
Не может быть, все свойства наследуются пересечением. Может, вы имели в виду объединение $\sigma$-алгебр?

 
 
 
 Re: Пересечение сигма-алгебр
Сообщение04.06.2013, 23:58 
provincialka
А если у них разные единицы?

 
 
 
 Re: Пересечение сигма-алгебр
Сообщение05.06.2013, 00:05 
Аватара пользователя
То есть они заданы на разных множествах? Тут надо подумать...

 
 
 
 Re: Пересечение сигма-алгебр
Сообщение05.06.2013, 00:12 
provincialka
Ага. Просто пользуюсь терминологией КФ.

 
 
 
 Re: Пересечение сигма-алгебр
Сообщение05.06.2013, 00:19 
djuuj в сообщении #732658 писал(а):
пример двух -алгебр, пересечение которых не пусто и не является -алгеброй?

djuuj в сообщении #732729 писал(а):
А если у них разные единицы?

По-моему, как раз если единицы не пересекаются, то пересечение сигма-алгебр пусто. Если же они пересекаются, в качестве единицы новой сигма-алгебры можно взять пересечение единиц. М?

 
 
 
 Re: Пересечение сигма-алгебр
Сообщение05.06.2013, 00:22 
Otta
А почему пересечение единиц будет содержаться в пересечении $\sigma$-алгебр?

 
 
 
 Re: Пересечение сигма-алгебр
Сообщение05.06.2013, 00:30 
Аватара пользователя
Если эти алгебры на множествах $A$ и $B$, то пересечем каждую из них с $2^{A\cap B}$. От этого их общее пересечение не изменится, и они останутся $\sigma$-алгебрами. И после этой операции они будут на одном множестве $A\cap B$, поэтому их перечение (если оно не пусто) тоже будет $\sigma$-алгеброй на $A\cap B$.

 
 
 
 Re: Пересечение сигма-алгебр
Сообщение05.06.2013, 00:31 
Аватара пользователя
Мне не очень понятен один момент. Пусть исходные $\sigma$-алгебры имеют единицы $X$ и $Y$. Пересечение двух $\sigma$-алгебр рассматривается как (возможная) $\sigma$-алгебра на $X\cap Y$? Или ее носителем является объединение всех ее подмножеств?

Будем считать, что имеется в виду первый случай.
Такой пример подойдет? $X=\{1,2,3\}$, алгебра на нем состоит из подмножеств $\emptyset,\{1,2\},\{3\},X$.
Аналогично $Y=\{2,3,4\}$, алгебра на нем состоит из подмножеств $\emptyset,\{3\},\{2,4\},Y$.

Пересечением этих алгебр будет $\{\emptyset,\{3\}\}$, что не является алгеброй на $X\cap Y=\{2,3\}$/

Впроем, на другом множестве, $\{3\}$, это сигма-алгебра.

 
 
 
 Re: Пересечение сигма-алгебр
Сообщение05.06.2013, 00:32 
djuuj в сообщении #732740 писал(а):
А почему пересечение единиц будет содержаться в пересечении -алгебр?

А что у нас входит в первую сигма-алгебру? Система подмножеств множества $A$, таких что. (Само множество среди них).
А во-вторую? Система подмножеств множества $B$, таких что.
А в пересечение должны входить те, что входят и туда, и туда. То есть это должны быть одновременно и подмножества множества $A$, и подмножества множества $B$. То есть все должны лежать в пересечении. В частности, само пересечение множеств тоже входит в пересечение сигма-алгебр.

 
 
 
 Re: Пересечение сигма-алгебр
Сообщение05.06.2013, 00:38 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #732748 писал(а):
А в пересечение должны входить те, что входят и туда, и туда. То есть это должны быть одновременно и подмножества множества $A$, и подмножества множества $B$. То есть все должны лежать в пересечении. В частности, само пересечение множеств тоже входит в пересечение сигма-алгебр.

Нет, неверно. В сигма-алгебру входят пересечения ее элементов. Но $B$ не есть элемент сигма-алгебры на $A$ и наоборот, так что утверждать мы ничего не можем. (см. мой пример выше)

 
 
 
 Re: Пересечение сигма-алгебр
Сообщение05.06.2013, 00:40 
g______d в сообщении #732744 писал(а):
и они останутся $\sigma$-алгебрами.

Непонятно почему после этого в них будут содержаться единицы ($A \cap B$?).

-- Вт июн 04, 2013 23:41:14 --

provincialka
Хотелось бы, чтобы пересечение не было $\sigma$-алгеброй ни на каком множестве.

 
 
 
 Re: Пересечение сигма-алгебр
Сообщение05.06.2013, 00:45 
provincialka в сообщении #732754 писал(а):
Нет, неверно. В сигма-алгебру входят пересечения ее элементов. Но не есть элемент сигма-алгебры на и наоборот, так что утверждать мы ничего не можем. (см. мой пример выше)

Нет, не это неверно. Вернее не все, что Вы выделили неверно.
Неверно вот что:
Otta в сообщении #732748 писал(а):
В частности, само пересечение множеств тоже входит в пересечение сигма-алгебр.

И только это. А из остального следует, что если пересечение алгебр - алгебра, то ее единица содержится в пересечении единиц алгебр.

ЗЫ Пример хороший, да.

 
 
 
 Re: Пересечение сигма-алгебр
Сообщение05.06.2013, 00:46 
Аватара пользователя
djuuj в сообщении #732756 писал(а):
g______d в сообщении #732744 писал(а):
и они останутся $\sigma$-алгебрами.

Непонятно почему после этого в них будут содержаться единицы ($A \cap B$?).


Да, это не обязательно. Можно рассмотреть алгебры $\{\varnothing,A\}$ и $\{\varnothing,B\}$ и пересечь.

Кстати говоря, пересечение никогда не пусто.

 
 
 
 Re: Пересечение сигма-алгебр
Сообщение05.06.2013, 00:48 
g______d в сообщении #732764 писал(а):
Кстати говоря, пересечение никогда не пусто.

Видимо, все же имеется в виду пересечение, равное пустому множеству.

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group