Пересечение сигма-алгебр

[djuuj]

Кто-то может привести пример двух $\sigma$-алгебр, пересечение которых не пусто и не является $\sigma$-алгеброй?

[provincialka]

Не может быть, все свойства наследуются пересечением. Может, вы имели в виду объединение $\sigma$-алгебр?

[djuuj]

provincialka
А если у них разные единицы?

[provincialka]

То есть они заданы на разных множествах? Тут надо подумать...

[djuuj]

provincialka
Ага. Просто пользуюсь терминологией КФ.

[Otta]

djuuj в сообщении #732658 писал(а):

пример двух -алгебр, пересечение которых не пусто и не является -алгеброй?

djuuj в сообщении #732729 писал(а):

А если у них разные единицы?

По-моему, как раз если единицы не пересекаются, то пересечение сигма-алгебр пусто. Если же они пересекаются, в качестве единицы новой сигма-алгебры можно взять пересечение единиц. М?

[djuuj]

Otta
А почему пересечение единиц будет содержаться в пересечении $\sigma$-алгебр?

[g______d]

Если эти алгебры на множествах $A$ и $B$, то пересечем каждую из них с $2^{A\cap B}$. От этого их общее пересечение не изменится, и они останутся $\sigma$-алгебрами. И после этой операции они будут на одном множестве $A\cap B$, поэтому их перечение (если оно не пусто) тоже будет $\sigma$-алгеброй на $A\cap B$.

[provincialka]

Мне не очень понятен один момент. Пусть исходные $\sigma$-алгебры имеют единицы $X$ и $Y$. Пересечение двух $\sigma$-алгебр рассматривается как (возможная) $\sigma$-алгебра на $X\cap Y$? Или ее носителем является объединение всех ее подмножеств?

Будем считать, что имеется в виду первый случай.
Такой пример подойдет? $X=\{1,2,3\}$, алгебра на нем состоит из подмножеств $\emptyset,\{1,2\},\{3\},X$.
Аналогично $Y=\{2,3,4\}$, алгебра на нем состоит из подмножеств $\emptyset,\{3\},\{2,4\},Y$.

Пересечением этих алгебр будет $\{\emptyset,\{3\}\}$, что не является алгеброй на $X\cap Y=\{2,3\}$/

Впроем, на другом множестве, $\{3\}$, это сигма-алгебра.

[Otta]

djuuj в сообщении #732740 писал(а):

А почему пересечение единиц будет содержаться в пересечении -алгебр?

А что у нас входит в первую сигма-алгебру? Система подмножеств множества $A$, таких что. (Само множество среди них).
А во-вторую? Система подмножеств множества $B$, таких что.
А в пересечение должны входить те, что входят и туда, и туда. То есть это должны быть одновременно и подмножества множества $A$, и подмножества множества $B$. То есть все должны лежать в пересечении. В частности, само пересечение множеств тоже входит в пересечение сигма-алгебр.

[provincialka]

Otta в сообщении #732748 писал(а):

А в пересечение должны входить те, что входят и туда, и туда. То есть это должны быть одновременно и подмножества множества $A$, и подмножества множества $B$. То есть все должны лежать в пересечении. В частности, само пересечение множеств тоже входит в пересечение сигма-алгебр.

Нет, неверно. В сигма-алгебру входят пересечения ее элементов. Но $B$ не есть элемент сигма-алгебры на $A$ и наоборот, так что утверждать мы ничего не можем. (см. мой пример выше)

[djuuj]

g______d в сообщении #732744 писал(а):

и они останутся $\sigma$-алгебрами.

Непонятно почему после этого в них будут содержаться единицы ($A \cap B$?).

-- Вт июн 04, 2013 23:41:14 --

provincialka
Хотелось бы, чтобы пересечение не было $\sigma$-алгеброй ни на каком множестве.

[Otta]

provincialka в сообщении #732754 писал(а):

Нет, неверно. В сигма-алгебру входят пересечения ее элементов. Но не есть элемент сигма-алгебры на и наоборот, так что утверждать мы ничего не можем. (см. мой пример выше)

Нет, не это неверно. Вернее не все, что Вы выделили неверно.
Неверно вот что:

Otta в сообщении #732748 писал(а):

В частности, само пересечение множеств тоже входит в пересечение сигма-алгебр.

И только это. А из остального следует, что если пересечение алгебр - алгебра, то ее единица содержится в пересечении единиц алгебр.

ЗЫ Пример хороший, да.

[g______d]

djuuj в сообщении #732756 писал(а):

g______d в сообщении #732744 писал(а):

и они останутся $\sigma$-алгебрами.

Непонятно почему после этого в них будут содержаться единицы ($A \cap B$?).

Да, это не обязательно. Можно рассмотреть алгебры $\{\varnothing,A\}$ и $\{\varnothing,B\}$ и пересечь.

Кстати говоря, пересечение никогда не пусто.

[Otta]

g______d в сообщении #732764 писал(а):

Кстати говоря, пересечение никогда не пусто.

Видимо, все же имеется в виду пересечение, равное пустому множеству.