2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Забавный факт
Сообщение26.05.2013, 22:41 
arqady в сообщении #728546 писал(а):
Как без занудного дифференцирования доказать, что для всех $x>0$ выполняется
$$x^{\sqrt2}+\frac{1}{x^{\sqrt2}}\geq2\left(x+\frac{1}{x}\right)-2$$

А можно ли так?
1. Допустим, что:$$x^{\sqrt2}+\frac{1}{x^{\sqrt2}}<2\left(x+\frac{1}{x}\right)-2$$
2. Тогда после замены: $x=t^{\sqrt2}$, получим:$$t^2+2+\frac{1}{t^2}<2\left(t^{\sqrt2}+\frac{1}{t^{\sqrt2}}\right)$$
$$\left(t+\frac{1}{t}\right)^2<2\left(t^{\sqrt2}+\frac{1}{t^{\sqrt2}}\right)$$
3. Обозначив $\alpha=t^{\sqrt2}+\frac{1}{t^{\sqrt2}}$, и $\beta=t+\frac{1}{t}$, перепишем пункты 1 и 2:
1'. $$\alpha<2\beta-2$$
2'. $$\beta^2<2\alpha$$
4. На основании пункта 3 можно записать выражение на $\beta$:
$$\beta^2<2(2\beta-2)$$
откуда
$$\beta^2 - 4\beta+4=(\beta-2)^2<0,$$
что неверно.

5. Следовательно допущение в пункте 1 неверно, т.е. имеем: $$x^{\sqrt2}+\frac{1}{x^{\sqrt2}}\geq2\left(x+\frac{1}{x}\right)-2$$

 
 
 
 Re: Забавный факт
Сообщение27.05.2013, 02:06 
romka_pomka в сообщении #728762 писал(а):
А можно ли так?
1. Допустим, что:$$x^{\sqrt2}+\frac{1}{x^{\sqrt2}}<2\left(x+\frac{1}{x}\right)-2$$

Нельзя! :P Ведь это допущение для какого-то $x$, а не для всех. :wink:

 
 
 
 Re: Забавный факт
Сообщение27.05.2013, 03:18 
Vince Diesel в сообщении #728733 писал(а):
Тогда так. Положим в неравенстве
$$
{\left(\frac{x^{\frac1{\sqrt2}}+x^{-\frac1{\sqrt2}}}2\right)^{\sqrt2}
\ \ge \left(\frac{x+x^{-1}}2\right)^{\frac1\sqrt2}} 
$$
$y=x^{2^\frac14}$:
$$
\left(\left(\frac{y^{2^{\frac14}}+y^{-2^{\frac14}}}2\right)^{2^{-\frac14}}\right)^{2^{3/4}}
\ge \left(\left(\frac{y^{2^{-\frac14}}+y^{-2^{-\frac14}}}2\right)^{2^{\frac14}}\right)^{2^{-3/4}}.
$$

Проверьте это ещё раз.

(Оффтоп)

Я у Вас исправил кое что, но это не исправляет последующей ошибки.


-- Пн май 27, 2013 04:32:44 --

ewert в сообщении #728648 писал(а):
.

А вообще если сразу, то надо просто переписать исходное неравенство в виде $\ch\alpha t\geqslant\alpha^2\ch t-\alpha^2+1$, после чего оно воистину очевидно.

Вот оно!!! :mrgreen: Спасибо!
Типа разложение в ряд впитало в себя дифференцирование. И это всё очень правильно!

 
 
 
 Re: Забавный факт
Сообщение27.05.2013, 10:08 
arqady в сообщении #728818 писал(а):
romka_pomka в сообщении #728762 писал(а):
А можно ли так?
1. Допустим, что:$$x^{\sqrt2}+\frac{1}{x^{\sqrt2}}<2\left(x+\frac{1}{x}\right)-2$$

Нельзя! :P Ведь это допущение для какого-то $x$, а не для всех. :wink:
У меня по неопытности порвался шаблон. Не могли бы Вы разъяснить, где именно я ошибся? Хотел ведь для всех, которые больше нуля... Неужели я там где-то не глядя квантор всеобщности отринул?

 
 
 
 Re: Забавный факт
Сообщение27.05.2013, 10:22 
Аватара пользователя
romka_pomka в сообщении #728888 писал(а):
Не могли бы Вы разъяснить, где именно я ошибся? Хотел ведь для всех, которые больше нуля... Неужели я там где-то не глядя квантор всеобщности отринул?
Вы всего лишь доказали, что неравенство не может быть неверным при всех $x$.

 
 
 
 Re: Забавный факт
Сообщение27.05.2013, 10:26 
romka_pomka в сообщении #728888 писал(а):
Не могли бы Вы разъяснить, где именно я ошибся?
У Вас переход к п. 1' не обоснован.

 
 
 
 Re: Забавный факт
Сообщение27.05.2013, 10:30 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #728894 писал(а):
romka_pomka в сообщении #728888 писал(а):
Не могли бы Вы разъяснить, где именно я ошибся?
У Вас переход к п. 1' не обоснован.
Это зависит от того, что утверждалось в этом пункте. (Для всех $x$ или для какого-то одного конкретного.)

 
 
 
 Re: Забавный факт
Сообщение27.05.2013, 10:36 
TOTAL в сообщении #728895 писал(а):
Для всех $x$ или для какого-то одного конкретного.
Согласен.

 
 
 
 Re: Забавный факт
Сообщение27.05.2013, 12:36 
TOTAL в сообщении #728892 писал(а):
Вы всего лишь доказали, что неравенство не может быть неверным при всех $x$.
А ведь я чего-то похожего с самого начала подсознательно боялся (что что-то пойдет не так)... А как-нибудь можно из моей писанины нормальное доказательство состряпать? Если например убрать этот финт "от противного", то между пунктами 3 и 4 стрелку "туда-сюда" имею право ставить (неравенство будет же нестрогое)?

 
 
 
 Re: Забавный факт
Сообщение27.05.2013, 12:41 
Аватара пользователя
romka_pomka в сообщении #728956 писал(а):
А как-нибудь можно из моей писанины нормальное доказательство состряпать?
Стряпайте. (Но не считайте, что читатели выучили эту писанину наизусть, так что Вам достаточно сказать про стрелку между пунктами.)

 
 
 
 Re: Забавный факт
Сообщение27.05.2013, 12:54 
arqady в сообщении #728832 писал(а):
Типа разложение в ряд впитало в себя дифференцирование. И это всё очень правильно!

Я никаких рядов не знаю и знать не хочу. Очевидным же образом неравенство оказывается верным после двукратного дифференцирования с последующим откатом.

Соответственно, очевидной становится и точность этого неравенства. Поэтому как-то сомнительна возможность его доказательства без той или иной ссылки на производные, пусть и в неявном виде.

 
 
 
 Re: Забавный факт
Сообщение27.05.2013, 13:00 
TOTAL в сообщении #728960 писал(а):
Но не считайте, что читатели выучили эту писанину наизусть, так что Вам достаточно сказать про стрелку между пунктами.

Извините, не хотел показаться бестактным. Спасибо за обсуждение.

 
 
 
 Re: Забавный факт
Сообщение27.05.2013, 14:09 
ewert в сообщении #728970 писал(а):
Я никаких рядов не знаю и знать не хочу.

Это дело вкуса. Мне нравится, что если посмотреть на $\ch{x}=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...$, то Ваше неравенство становится очевидным совершенно бесплатно.

 
 
 
 Re: Забавный факт
Сообщение27.05.2013, 14:17 
Просто разложение -- факт более сложный (и более поздний), чем таблица производных.

 
 
 
 Re: Забавный факт
Сообщение27.05.2013, 15:50 
ewert в сообщении #729008 писал(а):
Просто разложение -- факт более сложный (и более поздний), чем таблица производных.

Важно, что это результат правильного мышления и мы им воспользовались.
Задача, конечно, слишком простая, чтобы раскручивать вокруг неё "сложную" философию, но факт, что произошла обычная для математики вещь: правильно подумали (аналогия между $x+\frac{1}{x}$ и $e^x+e^{-x}$) и получили что-то очевидное. Только как бы на другом уровне очевидности.
Вот и сказалось неизбывное наше (человеков) желание понять, что значит правильно подумать.
Много раз об этом писал, напишу ещё: математика - это область человеческой деятельности, в которой он пытается понять, что такое правильное мышление.
Для этого и создаётся и всё время совершенствуется специальный язык - язык математики. Только бы понять, что значит правильно подумать.

 
 
 [ Сообщений: 30 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group