Забавный факт

[arqady]

Как без занудного дифференцирования доказать, что для всех $x>0$ выполняется

$$x^{\sqrt2}+\frac{1}{x^{\sqrt2}}\geq2\left(x+\frac{1}{x}\right)-2$$

Может, это кому-то сразу очевидно?
Спасибо!

[svv]

Кандидатом на роль чего-то более простого, из чего это можно вывести, кажется

$$x^{\sqrt2}+\frac{1}{x^{\sqrt2}}\geqslant x+\frac{1}{x}\geqslant 2$$

[Vince Diesel]

Можно переписать в виде

$$ {\left(\frac{x^{\frac1{\sqrt2}}+x^{\frac1{\sqrt2}}}2\right)^{\sqrt2} \ \ge \left(\frac{x+x^{-1}}2\right)^{\frac1\sqrt2}} . $$

Используя неравнства для средних с $p_1=1/\sqrt2$, $p_2=1$, получаем:

$$ \left(\frac{x^{\frac1{\sqrt2}}+x^{\frac1{\sqrt2}}}2\right)^{\sqrt2} \ge\frac{x+x^{-1}}2\ge \left(\frac{x+x^{-1}}2\right)^\frac1{\sqrt2}, $$

поскольку $\frac{x+x^{-1}}2\ge1$.

[arqady]

Vince Diesel в сообщении #728585 писал(а):

Используя неравнства для средних с $p_1=1/\sqrt2$, $p_2=1$, получаем:

$$ \left(\frac{x^{\frac1{\sqrt2}}+x^{\frac1{\sqrt2}}}2\right)^{\sqrt2} \ge\frac{x+x^{-1}}2 $$

$\sqrt2>1$. Поэтому неравенство в другую сторону.

svv в сообщении #728577 писал(а):

Кандидатом на роль чего-то более простого, из чего это можно вывести, кажется

$$x^{\sqrt2}+\frac{1}{x^{\sqrt2}}\geqslant x+\frac{1}{x}\geqslant 2$$

Ваше более слабое.

[svv]

Пусть $a>1$.
Если $x\geqslant 1$, то $x^a-x\geqslant 0$ и $x^a x\geqslant 1$, поэтому
$x^a-x\geqslant \dfrac{x^a-x}{x^a x}$

Если $0<x<1$, то $x^a-x<0$ и $x^a x<1$, поэтому опять-таки
$x^a-x\geqslant \dfrac{x^a-x}{x^a x}$

Отсюда
$x^a-x\geqslant \dfrac 1 x -\dfrac 1 {x^a}$

$x^a+\dfrac 1 {x^a}\geqslant x+\dfrac 1 x $

[arqady]

Понятно, что мы навсегда можем положить $x\geq1$.

[TOTAL]

svv в сообщении #728594 писал(а):

$x^a+\dfrac 1 {x^a}\geqslant x+\dfrac 1 x $

Очевидно $y+\frac{1}{y} > x+\frac{1}{x} > 2 $ при $y > x >1.$ Дальше что?

[svv]

Да, более слабое, ошибся.

[ewert]

arqady в сообщении #728546 писал(а):

Как без занудного дифференцирования доказать, что для всех $x>0$ выполняется

$$x^{\sqrt2}+\frac{1}{x^{\sqrt2}}\geq2\left(x+\frac{1}{x}\right)-2$$

Почему занудного? Оно сводится к $x^{\sqrt2}+\dfrac{1}{x^{\sqrt2}}\geqslant x+\dfrac{1}{x}$ всего лишь двукратным дифференцированием.

[TOTAL]

$x=1+t^2$
Что при малых $t^2$ неравенство верно, получается без дифференцирования. Поможет?

[arqady]

ewert,
как-то Вы, видимо, хитро брали производную.
У меня получилось после троекратного. Но хочется как-то сразу увидеть...
Может, какая-то выпуклость?

-- Вс май 26, 2013 18:10:30 --

TOTAL, я не понимаю, что Вы имеете в виду. Это ж надо доказывать.

[ewert]

arqady в сообщении #728624 писал(а):

ewert,
как-то Вы, видимо, хитро брали производную.

Я просто умножил на икс после первого дифференцирования.

[TOTAL]

arqady в сообщении #728624 писал(а):

TOTAL, я не понимаю, что Вы имеете в виду. Это ж надо доказывать.

Без дифференцирования видно, что в какой-то окрестности $x=1$ неравенство верно.

[ewert]

TOTAL в сообщении #728628 писал(а):

Без дифференцирования видно, что в какой-то окрестности $x=1$ неравенство верно.

Я тоже не понимаю, как можно без дифференцирования углядеть эффект третьего порядка. Да и что это даст?...

А вообще если сразу, то надо просто переписать исходное неравенство в виде $\ch\alpha t\geqslant\alpha^2\ch t-\alpha^2+1$, после чего оно воистину очевидно.

[Vince Diesel]

arqady в сообщении #728592 писал(а):

Vince Diesel в сообщении #728585 писал(а):

Используя неравнства для средних с $p_1=1/\sqrt2$, $p_2=1$, получаем:

$$ \left(\frac{x^{\frac1{\sqrt2}}+x^{\frac1{\sqrt2}}}2\right)^{\sqrt2} \ge\frac{x+x^{-1}}2 $$

$\sqrt2>1$. Поэтому неравенство в другую сторону.

Тогда так. Положим в неравенстве

$$ {\left(\frac{x^{\frac1{\sqrt2}}+x^{\frac1{\sqrt2}}}2\right)^{\sqrt2} \ \ge \left(\frac{x+x^{-1}}2\right)^{\frac1\sqrt2}} $$

$y=x^{2^\frac14}$:

$$ \left(\left(\frac{y^{2^{\frac14}}+y^{-2^{\frac14}}}2\right)^{2^{-\frac14}}\right)^{2^{3/4}} \ge \left(\left(\frac{y^{2^{-\frac14}}+y^{-2^{-\frac14}}}2\right)^{2^{\frac14}}\right)^{2^{-3/4}}. $$

Оно верное, поскольку

$$ \left(\frac{y^{2^{\frac14}}+y^{-2^{\frac14}}}2\right)^{2^{-\frac14}} \ge \left(\frac{y^{2^{-\frac14}}+y^{-2^{-\frac14}}}2\right)^{2^{\frac14}}, $$

неравенство $2^{1/4}>2^{-1/4}$ здесь в нужную сторону, выражения слева и справа в последнем неравенстве не меньше единицы и левая часть возводится в большую степень, чем правая.