Условия положительности корней 3й и 4й степени

[S1lv]

Здравствуйте. у меня есть вопрос. Какие условия нужно поставить на коэффиценты кубического уравнения(a*x^3+b*x^2+c*x+d=0), чтобы все корни этого уравнения были положиетльными.
Есть предположение, что это такие условия:
1) D>=0
2) -b/a>0
3) с/a>0
4) -d/a>0
Верно ли это ? Если нет, предложите свой вариант.
И еще есть уравнение четвертой степени, какими коэффициенты должны быть для него, чтобы все корни этого уравнения были положительными? Тут у меня вариантов нет.
Предложите свои варианты условий, пожалуйста.
Заранее спасибо.

[provincialka]

А что такое D? Производную можно использовать?

[Otta]

S1lv в сообщении #726019 писал(а):

Какие условия нужно поставить на коэффициенты кубического уравнения$(ax^3+bx^2+cx+d=0)$, чтобы все корни этого уравнения были положительными.

Чтобы все три или все вещественные были положительными?

[S1lv]

Otta в сообщении #726032 писал(а):

S1lv в сообщении #726019 писал(а):

Какие условия нужно поставить на коэффициенты кубического уравнения$(ax^3+bx^2+cx+d=0)$, чтобы все корни этого уравнения были положительными.

Чтобы все три или все вещественные были положительными?

Нужно чтобы все три были и вещественными, и неотрицательными.

-- 20.05.2013, 00:35 --

provincialka в сообщении #726029 писал(а):

А что такое D? Производную можно использовать?

D - это дискриминант.

[Otta]

S1lv в сообщении #726033 писал(а):

D - это дискриминант.

А чему он у Вас равен?

[provincialka]

Что вы называете дискриминантом кубического уравнения?

[Ms-dos4]

S1lv

Цитата:

Верно ли это ? Если нет, предложите свой вариант

Нет. Например условие 2 слишком строгое.
Существует теорема Декарта, которая говорит, что число положительных корней уравнения равно числу перемен знаков в ряду его коэффициентов (не считая нулевые) либо на чётное число меньше его (корни считаются с учётом кратности). Если у вас все три корня вещественны (а это и определяется дискриминантом), то у нас в ряду $\[\{ a,b,c,d\} \]$ должна быть или 1 смена знака или 3. Пусть все коэффициенты отличны от нуля и a>0 (это всегда можно сделать умножая уравнение на -1).
Тогда коэффициенты должны иметь следующие знаки
$\[\{ + , - , - , - \} ,\{ + , + , + , - \} ,\{ + , + , - , - \} ,\{ + , - , + , - \} \]$ и, конечно, $\[D \ge 0\]$
Если один из коэффициентов ноль, рассматриваете аналогичную схему без этого коэффициента.
Ну для уравнения четвёртой степени так же можно применитьтеорему Декарта.
provincialka
В данной форме кубического уравнения
$\[D = 18abcd + {b^2}{c^2} - 4a{c^3} - 4{b^3}d - 27{a^2}{d^2}\]$

[Otta]

Ms-dos4 в сообщении #726041 писал(а):

S1lv
В данной форме кубического уравнения
$\[D = 18abcd + {b^2}{c^2} - 4a{c^3} - 4{b^3}d - 27{a^2}{d^2}\]$

Спасибо. :) Совершенно незапоминаемо, правда.

[Otta]

Ms-dos4 в сообщении #726041 писал(а):

S1lv

Цитата:

Верно ли это ? Если нет, предложите свой вариант

Нет. Например условие 2 слишком строгое.
Существует теорема Декарта, которая говорит, что число положительных корней уравнения равно числу перемен знаков в ряду его коэффициентов (не считая нулевые) либо на чётное число меньше его (корни считаются с учётом кратности). Если у вас все три корня вещественны (а это и определяется дискриминантом), то у нас в ряду $\[\{ a,b,c,d\} \]$ должна быть или 1 смена знака или 3. Пусть все коэффициенты отличны от нуля и a>0 (это всегда можно сделать умножая уравнение на -1).
Тогда коэффициенты должны иметь следующие знаки
$\[\{ + , - , - , - \} ,\{ + , + , + , - \} ,\{ + , + , - , - \} ,\{ + , - , + , - \} \]$ и, конечно, $\[D \ge 0\]$

Ms-dos4
Однако же. В схемах 1-3 одна перемена знака, а это значит, что число положительных корней (с учетом кратности) равно единице. Разве нет?
Кроме того, необходимое условие положительности всех корней тоже дает только схему номер 4. (Просто разложить многочлен на множители и открыть скобки.) В другую сторону. Декарт говорит, что три (+) корня тоже возможны только в этом случае, но, вообще говоря, необязательно: положительный корень может быть и один.

Поправьте меня, если что.

Теорема Декарта никак не упоминает дискриминант, поэтому интересно, обеспечит ли условие его неотрицательности положительность двух оставшихся корней. Вообще говоря, можно попробовать это проверить, воспользовавшись той же теоремой для подсчета количества отрицательных корней... но это потом, сейчас и наврать могу.

[Ms-dos4]

Otta
Вы правы. Если мы ищем ВСЕ 3 вещественных положительных корня (т.е. накладываем ограничение на дискриминант), то число перемен знака может быть равно только 3-ём.

-- Пн май 20, 2013 07:01:29 --

Цитата:

Теорема Декарта никак не упоминает дискриминант, поэтому интересно, обеспечит ли условие его неотрицательности положительность двух оставшихся корней. Вообще говоря, можно попробовать это проверить, воспользовавшись той же теоремой для подсчета количества отрицательных корней... но это потом, сейчас и наврать могу.

Обеспечит. Если все корни вещественные(что следует из неотрицательности дискриминанта), то теорема Декарта даёт точное число корней.

[Otta]

Ms-dos4 в сообщении #726054 писал(а):

Если все корни вещественные(что следует из неотрицательности дискриминанта), то теорема Декарта даёт точное число корней.

Не верю (с).
Ms-dos4, я чувствую, мы оба спим.
Я вот о чем:

Otta в сообщении #726051 писал(а):

Декарт говорит, что три (+) корня тоже возможны только в этом случае, но, вообще говоря, необязательно: положительный корень может быть и один.

... ибо один = число перемен знаков коэффициентов - 2. Имеет право. Не?

[Ms-dos4]

Цитата:

... ибо один = число перемен знаков коэффициентов - 2. Имеет право. Не?

Чётные числа вычитается из за возможности наличия комлексно-сопряжённых корней. А у нас их тут нету (исключили дискриминантом). Я тоже сначала это выпустил из головы.

[Otta]

Ms-dos4 в сообщении #726058 писал(а):

Чётные числа вычитается из за возможности наличия комлексно-сопряжённых корней.

А, вот теперь ясно. Спасибо большое.

[Deggial]

S1lv, замечание за дублирование тем.

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

S1lv, наберите формулы $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.