Формулы и теоремы - запоминать или выводить?

[Munin]

kda_ximik в сообщении #728870 писал(а):

Munin! Извините, но Вы меня обижаете! Мы сейчас говорили о школьной программе, а не об "аффинных преобразованиях".

Вот я как раз про школьную программу и говорю. Мне, помнится, приходилось решать задачи, включающие в себя построение описанной или вписанной окружности, или следствие из её существования и единственности. А для этого на самом деле нужна эта теорема. Хотя, школьников не учат произносить чётко и аккуратно "построим описанную окружность (по теореме 12.4.5 такая существует и единственна)..."

А при аффинных преобразованиях окружности, кстати, преобразуются в эллипсы :-) Вокруг каждого треугольника можно описать уже бесконечно много эллипсов, (кстати, сколькипараметрическое семейство?). И высоты превращаются в не высоты. Так что, я явно не об них :-)

kda_ximik в сообщении #728870 писал(а):

А что касается применения той или иной теоремы, так могу сказать, что ученик при виде цитаты "в треугольник вписана окружность" не копается в голове в поисках теоремы "в правильный многоугольник можно вписан можно вписать окр-ть, при том только одну", а сразу строит из центра окр-ти радиус в точку касания и тут же рисует на бумаге $S=rp$.

$S=r\pi,$ вы хотели сказать? $S=r\pi$ Update: пардон, я неправ!!!
Да, ученик не копается. Но на каком-то этапе объяснить ему, что это он на самом деле "срезает углы", а на самом деле тут подразумеваются вполне конкретные строгие рассуждения, - нужно.

Кстати, центр этой вписанной окружности ещё надо найти, как и точку касания. Как ваши ученики чертят биссектрисы на заданном чертеже: циркулем и линейкой, или складыванием бумаги пополам? :-)

-- 27.05.2013 13:37:23 --

kda_ximik в сообщении #728870 писал(а):

Но в тоже время очень важно акцентировать внимание не только на то, что выделено в учебнике, но и на то, что ученик будет применять при решении задач как на уроке, так и при сдаче экзаменов. А ведь ЕГЭ имеет широкую шкалу баллов, в соответствии с которыми его возьмут в тот или иной ВУЗ.

Тут ещё такой момент. Хорошо бы, с одной стороны, получить много баллов на ЕГЭ, но с другой стороны - не превратить при этом знания в такой винегрет, который потом придётся переучивать с нуля в этом ВУЗе. То есть, в погоне за высокими баллами ЕГЭ, не надо превращать ученика в мартышку, решающую задачи на автоматизме. Это в ВУЗе ему только повредит, причём сильно-сильно. Вплоть до вылета с первых курсов, или хронического отставания, потери интереса и мотивации, паршивого диплома на троечку, и т. п.

[ewert]

Munin в сообщении #728955 писал(а):

$S=r\pi,$ вы хотели сказать?

Нет, именно $rp$ (в стандартных обозначениях).

Munin в сообщении #728955 писал(а):

Хотя, школьников не учат произносить чётко и аккуратно "построим описанную окружность (по теореме 12.4.5 такая существует и единственна)..."

А Вам часто приходится приговаривать что-нибудь типа "согласно теореме Барроу..."?

При решении задач ссылки на теоремы обычно вообще малоуместны.

[Munin]

ewert в сообщении #728964 писал(а):

Munin в сообщении #728955 писал(а):

$S=r\pi,$ вы хотели сказать?

Нет, именно $rp$ (в стандартных обозначениях).

Тысяча пардонов! Отключил мозги!!!

-- 27.05.2013 13:56:11 --

ewert в сообщении #728964 писал(а):

А Вам часто приходится приговаривать что-нибудь типа "согласно теореме Барроу..."?

Мне - нет. Ну так я вообще математикой не занимаюсь.

ewert в сообщении #728964 писал(а):

При решении задач ссылки на теоремы обычно вообще малоуместны.

Смотря каких задач, и на насколько мощные теоремы. Мне постоянно встречаются случаи, когда уместны. Например, на теоремы о существовании и единственности решения дифференциального уравнения - без них шагу не ступишь в решении этих самых уравнений. Без них постоянно законен вопрос: "а что ты насчитал-то?"

-- 27.05.2013 14:03:54 --

ewert в сообщении #728964 писал(а):

А Вам часто приходится приговаривать что-нибудь типа "согласно теореме Барроу..."?

Кстати, теорема Барроу действительно просто редко встречается (настолько редко, что пришлось гуглить, а что это за теорема), а теорема Стокса - часто. И когда что-то делается согласно ей - приходится приговаривать. Ну, это лично мне.

[ewert]

Munin в сообщении #728969 писал(а):

Например, на теоремы о существовании и единственности решения дифференциального уравнения - без них шагу не ступишь в решении этих самых уравнений.

Очень хороший пример. Как раз при решении дифуров на теорему существования и единственности не приходится ссылаться практически никогда -- именно потому, что пришлось бы ссылаться на каждом шагу.

Более того, даже при чтении теоретического курса явные ссылки на эту теорему довольно редки. Скажем, в теории линейных уравнений такая ссылка требуется, пожалуй, только один раз -- в самом начале, при доказательстве размерности пространства решений. Там теорема существования и единственности действительно принципиальна, а дальше она уже просто принимается по умолчанию.

-- Пн май 27, 2013 14:32:11 --

Munin в сообщении #728969 писал(а):

Кстати, теорема Барроу действительно просто редко встречается (настолько редко, что пришлось гуглить, а что это за теорема),

Мне тоже. И тем не менее встречается она на каждом шагу. Вспомните: разве Вам никогда в жизни не приходилось дифференцировать интегралы с переменными пределами?... Так вот: каждый раз, когда Вы это делаете -- Вы говорите прозой ссылаетесь на теорему Барроу, только стесняетесь в этом признаться.

[Oleg Zubelevich]

теорема о выпрямлении векторного поля, которая эквивалентна теореме существования и единственности ОДУ, применяется весьма часто и именно в явном виде. Да и сама теорема существования и единственности тоже регулярно применяется в приличных курсах.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #728987 писал(а):

теорема о выпрямлении векторного поля, которая эквивалентна теореме существования и единственности ОДУ, применяется весьма часто и именно в явном виде.

Применяется; но обычно не называется, а лишь подразумевается. В точности как и теоремы типа Барроу. Или теорема о том, что в треугольник можно вписать/описать окружность.

[Munin]

ewert в сообщении #728978 писал(а):

Очень хороший пример. Как раз при решении дифуров на теорему существования и единственности не приходится ссылаться практически никогда -- именно потому, что пришлось бы ссылаться на каждом шагу.

Вообще-то ссылаться приходится всегда - именно потому, что если не проверять, то постоянно будешь утыкаться либо в переопределённую, либо в недоопределённую задачу. Простите, вы дифуры-то решали? Сколько десятилетий назад?

(Я про ДУЧП, если что, а не про ОДУ.)

ewert в сообщении #728978 писал(а):

Мне тоже. И тем не менее встречается она на каждом шагу. Вспомните: разве Вам никогда в жизни не приходилось дифференцировать интегралы с переменными пределами?...

Да нет, знаете, как-то не приходилось. Может быть, очень давно, но я не помню. В последнее время - точно нет.

ewert в сообщении #728993 писал(а):

Применяется; но обычно не называется, а лишь подразумевается.

Знаете, я прошу вас привести текст, в котором именно это и происходит. Уровня не-местечкового учебника, или лучше, публикации (тоже не в Вестнике Крыжопольского Техническо-Педагогического...). А лучше два-три текста.

ewert в сообщении #728993 писал(а):

Или теорема о том, что в треугольник можно вписать/описать окружность.

Это да, но я уже сказал, что хорошего в этом мало - нужно по крайней мере чётко объяснить ученику, что именно она в конкретном месте подразумевается.

[Евгеша]

_Ivana в сообщении #725701 писал(а):

Как мне дать ему все тригонометрические формулы? Спустить с неба минимум их, а остальные вывести из них? Или спустить с неба формулу Эйлера и вывести все что получится? Или рисовать планиметрические чертежи, выводить там, а потом сказать - а теперь просто поверь, что в случае отрицательных синусов и больших углов все будет то же самое?...

Я считаю, что нужно сначала давать комплексные числа, а уж из них вся тригонометрия выводится за 5 минут. Например, формулы косинуса и синуса суммы углов есть всего-навсего произведение двух комплексных чисел, а (ко)синусов кратных углов - формула Муавра. Причем все это имеет простой и наглядный физический смысл, если объяснить, что умножение на комплексное число с геом. точки зрения - это просто поворот плоскости (+растяжение, если модуль не единица). Кстати, такое пояснение также снимает первоначальное недоумение, мол, как это, квадрат числа отрицателен. Ведь, действительно, если, например, $i$ имеет угол $\pi/2$, то, умножая его на себя, мы поворачиваемся на $\pi/2$ и приходим в $-1$ и никаких парадоксов не возникает.

[ewert]

Евгеша в сообщении #734780 писал(а):

Я считаю, что нужно сначала давать комплексные числа, а уж из них вся тригонометрия выводится за 5 минут.

Не надо -- комплексные числа абсолютно ненаглядны (в смысле прекрасны, разумеется, но совершенно не в этом смысле).

[arschloach]

Цитата:

Не надо -- комплексные числа абсолютно ненаглядны (в смысле прекрасны, разумеется, но совершенно не в этом смысле).

комплексные числа абсолютно наглядны

[мат-ламер]

Тригонометрия и комплексные числа друг друга гармонично дополняют.

[ewert]

Они уже потом гармонично дополнят. Лишь после того, как тригонометрия (и просто геометрия как её житейская база) будет благополучно пройдена. До того же -- ни-ни.

[m1967lj]

Евгеша в сообщении #734780 писал(а):

_Ivana в сообщении #725701 писал(а):

Как мне дать ему все тригонометрические формулы? Спустить с неба минимум их, а остальные вывести из них? Или спустить с неба формулу Эйлера и вывести все что получится? Или рисовать планиметрические чертежи, выводить там, а потом сказать - а теперь просто поверь, что в случае отрицательных синусов и больших углов все будет то же самое?...

Я считаю, что нужно сначала давать комплексные числа, а уж из них вся тригонометрия выводится за 5 минут.

Почему бы не пойти по пути школьной программы? Сейчас комплексные числа в неё не входят. Поэтому если говорить об обычной (не математической) школе, можно поступить так, как здесь уже предлагалось.

Munin в сообщении #725756 писал(а):

Можно, конечно, запоминать не всё, а только минимальный достаточный набор, чтобы вывести всё остальное.
Например, в тригонометрии достаточно формул суммы углов для синуса и косинуса, и основного тригонометрического тождества. Из них быстро выводятся двойные и половинные углы, суммы синусов и косинусов, квадраты синуса и косинуса (с кубами уже надо повозиться), всё для тангенса и котангенса.

Целесообразный принцип здесь (на что ориентировать учеников обычной школы) такой:
то, что легко и быстро выводится, лучше не запоминать напрямую, а тренироваться в выводе;
то, что сложно выводится, лучше (посмотрев разок вывод) запомнить - выучить напрямую.

Теперь о "спуске с неба формулы Эйлера" для семиклассника. Вряд ли "спуск с неба" поспособствует цели обеспечить "логическую стройность, связность и красоту". Надо бы еще учесть, что основные тригонометрические формулы были установлены задолго до Эйлера - аж в средние века, и как-то никто не жаловался. Говорят ведь, что "нельзя объять необъятное". Представим себе, что появилась еще более общая и абстрактная теория, из которой и формула Эйлера вытекает как частный случай. Мы что, будем обучать семиклассника этой абстрактной теории раньше "простой" тригонометрии? На мой взгляд, это было бы совершенно нецелесообразно и даже антипедагогично.