Найти среднее значение функции

[leonard]

Помогите вычислить среднее значение на промежутке (-р;p)

Как интеграл совершенно неберущийся.
Можно ли дать ответ в трансцендентных числах и если нет, то почему?
Заранее спасибо

[Ms-dos4]

Почему неберущийся? Он легко приводится к неполному эллиптическому интегралу второго рода
$\[\int\limits_{ - p}^p {\sqrt {\cos x + 2} dx} = 2\int\limits_0^p {\sqrt {\cos x + 2} dx} \]$
Рассмотрим интеграл
$\[\int\limits_0^p {\sqrt {\cos x + 2} dx} \]$
Сделаем замену $\[x = 2\varphi \]$
Тогда
$\[\int\limits_0^p {\sqrt {\cos x + 2} dx} = 2\int\limits_0^{\frac{p}{2}} {\sqrt {\cos 2\varphi + 2} d\varphi } = 2\int\limits_0^{\frac{p}{2}} {\sqrt {3 - 2{{\sin }^2}\varphi } d\varphi } = 2\sqrt 3 \int\limits_0^{\frac{p}{2}} {\sqrt {1 - \frac{2}{3}{{\sin }^2}\varphi } d\varphi } = 2\sqrt 3 E(\frac{p}{2}|\frac{2}{3})\]$
Ну и для среднего на отрезке
$\[\frac{1}{{2p}}\int\limits_{ - p}^p {\sqrt {\cos x + 2} dx} = \frac{1}{{2p}} \cdot 2 \cdot \int\limits_0^p {\sqrt {\cos x + 2} dx} = \frac{{2\sqrt 3 }}{p}E(\frac{p}{2}|\frac{2}{3})\]$

P.S.Будьте внимательны с обозначениями, эллиптические интегралы обозначают по разному
$\[E(\theta ,k) = E(\theta |{k^2}) = \int\limits_0^\theta {\sqrt {1 - {k^2}{{\sin }^2}\theta } d\theta } \]$

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

leonard, наберите формулы $\TeX$ом.Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.