Помогите определить условие

[zxreader]

Всем привет. Есть небольшой вопрос к знатокам вариационного исчисления. Необходимо найти экстремум функционала $\int_{0}^{1}(y''^2+3y)dx+y'(0)$ при условиях $y(0)=0,y'(1)+y(1)=0.$ Я варьирую функционал, получается 3 доп. естественных условия, 1 для нуля ($2y''(0)+1=0$) и два для единички ($y''(1)=0$ и $y'''(1)=0$). В единице есть одно основное условие, какое из этих двух естественных надо выбирать? Заранее большое спасибо за помощь

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не дооформлены $\TeX$ом

Наберите все формулы $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[AlexValk]

Вы не приводите подробностей своих вычислений, поэтому сложно сказать в какой мере ваша ошибка техническая, а в какой - принципиальная.
Стандартная последовательность шагов такая:
1. Представляете функцию $y(x)$ в виде $y(x)=y_0(x)+\delta y(x)$, где $y_0$ - (искомое) стационарное значение $y(x)$, а $\delta y(x)$ - его малая вариация.
При этом граничные условия $y(0)=0,\; y'(1)+y(1)=0$ приводят к условиям на $y_0$ и $\delta y$:

$$y_0(0)=0,\; y'_0(1)+y_0(1)=0,\quad\delta y(0)=0,\; \delta y'(1)+\delta y(1)=0.$$

2. Находим первую вариацию функционала $\delta F=\int_0^1\left(2y''\delta y''+3\delta y\right)dx+\delta y'(0)$.
3. Выполняя интегрирования по частям (в данном случае - 2 раза) представляем $\delta F$ в виде суммы вкладов двух типов:
а) интегрального члена, с подынтегральным выражением линейным по $\delta y(x)$ (и не содержащем его производных).
б) внеинтегральных членов, зависящих от $\delta y$, $\delta y'$, $\delta y'',\dots$ на границах области интегрирования.
В данном случае:

$$\delta F=2\left. y_0''\delta y'\right|_0^1-2\left. y_0'''\delta y\right|_0^1+\int_0^1 \left(2y_0''''(x) +3\right)\delta y(x) dx +\delta y'(0).$$

Учитывая граничные условия $\delta y(0)=0$, $\delta y'(1)+\delta y(1)=0$ получаем

$$\delta F=-2(y_0'''(1)+y_0''(1))\delta y(1)+(-2y_0''(0)+1)\delta y'(0)+\int_0^1 \left(2y_0''''(x) +3\right)\delta y(x) dx$$

4. Условие стационарности $\delta F=0$ с учетом произвольности $\delta y(x)$ при $x\in(0;1)$ в интегральном члене дает на $y_0$ дифференциальное уравнение четвертого порядка

$$y_0''''(x) +3=0,$$

а учет произвольности $\delta y'(0)$ и $\delta y(1)$ во внеинтегральных членах дает два (а не три, как вы пишете) дополнительных граничных условия

$$-2y_0''(0)+1=0,\; y_0'''(1)+y_0''(1)=0,$$

которые вместе с исходными граничными условиями

$$y_0(0)=0,\; y'_0(1)+y_0(1)=0$$

позволяют однозначно найти стационарное решение $y_0(x)$.

Ваше уравнение $2y_0''(0)+1=0$ похоже на $-2y_0''(0)+1=0$, так, что тут, наверное, у вас (или у меня ) техническая ошибка.
А вот два других ваших граничных условия $y_0''(1)=0$, $y_0'''(1)=0$ это принципиально другое, чем одно мое $y_0'''(1)+y_0''(1)=0$ - тут у нас с вами идеологические расхождения.