Дифференциальное уравнение

[Jane_Wanderer]

Задача. При каких условиях на $a \in \mathbb R$ и $f \in C^{\infty}$ все решения уравнения $ \dot x = ax^{1/3} + f(x)$ единственны.

Нет никаких идей, как это можно решить. Пыталась подбирать функцию, ничего толкового не вышло.

Замена формул рисунком запрещена правилами форума. Я заменил рисунок текстом. Также правила требуют демонстрации содержательных попыток решения. В следующий раз тема (с таким начальным сообщением) может быть перенесена в Карантин.
/ GAA, 04.05.13.

[ИСН]

Что значит "решения единственны", и какова альтернатива этому?

[Oleg Zubelevich]

вариантов много. например если правая часть системы $\dot x=f(t,x)$ непрерывна и монотоннаа:
$(f(t,x_1)-f(t,x_2),x_1-x_2)\le 0$ то решение задачи Коши единственно, (неравенство выполнено для всех $t,x_1,x_2$ из области определения $f$)

Монотонность можно заменить более общим условием $(f(t,x_1)-f(t,x_2),x_1-x_2)\le c|x_1-x_2|^2$

[Jane_Wanderer]

ИСН
Там опечатка, решение единственно.

[Oleg Zubelevich]

похоже товарисч вообще не понимает что такое дифференциальное уравнение

[Jane_Wanderer]

Oleg Zubelevich, спасибо, буду пытаться решить.

[provincialka]

Нигде в уравнении нет $t$, так что все решения получаются из одного сдвигом $x(t) = x_0(t-t_0)$

[Jane_Wanderer]

provincialka, а как это можно доказать?

[provincialka]

Я не совсем правильно выразилась: все такие функции будут решениями. Нарушение единственности, если и может быть, то при $x$ близких к 0.

[GAA]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

Jane_Wanderer, см. Петровский И.Г. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Например, издание 1984 г.
Пожалуйста, внимательно прочитайте правила этого раздела.

[Jane_Wanderer]

provincialka, а как это доказать?
Допустим, $f(0)=0$. Я понимаю, что единственности в таком случае не будет, но как можно это доказать?
Допустим, $f(0)\neq0$. Чем можно воспользоваться, чтоб доказать единственность?

[SpBTimes]

$f(x)$ тут не дает неприятностей. Посмотрите теорему Коши-Пикара существования и единственности задачи коши $x(t_0)= x_0$ для уравнения $x'(t) =f(x, t)$. Достаточным условием для существования и единственности решения З.К. в окрестности точки $(t_0, x_0)$ является непрерывность $f(x, t)$ (этого, кстати, достаточно для существования) в некоторой окрестности этой точки и липшицевость производной правой части по $x$ (тоже локальная).

[Jane_Wanderer]

SpBTimes, проблема в том, что в случае $f(0)\neq0$ правая часть ДУ не удовлетворяет условию Липшица из-за $x^{\frac{1}{3}}$

[SpBTimes]

Jane_Wanderer
А что,в случае $f(0) = 0$ удовлетворяет?

[Jane_Wanderer]

SpBTimes, в случае $f(0)=0$ нет единственности решения