Дифференциальное уравнение

[provincialka]

Чисто интуитивно все понятно: решения получаются друг из друга сдвигом и заполняют некоторую горизонтальную полосу. Такие решения не могут пересекаться. Исключением является решение $x=\operatorname{const}$, которое переходит при сдвиге в себя. Но, как уже было сказано, нарушение единственности может быть только при $x=0$, только это решение будет особым. Если это - решение.

Осталось только все это обосновать формально

[Jane_Wanderer]

provincialka, я не знаю, как это можно формально обосновать.

[SpBTimes]

Jane_Wanderer в сообщении #724488 писал(а):

в случае $f(0)=0$ нет единственности решения

Почему это?

[Jane_Wanderer]

SpBTimes, ну, это мне так кажется. Будет решение $x=0$ и семейство функций $x=x(t)$. Мне как-то нужно доказать, что решение $x=0$ частное и из общего решения его не видно. Ну, или доказать, что видно и что решение единственно. Но мне все таки кажется, что единственности в данном случае не будет.

[SpBTimes]

Jane_Wanderer
Единственности может не быть в точках $(t_0, 0)$. Через каждую такую точку проходит интегральная кривая $x(t) = \int_{t_0}^{t}f(x, t)dt$ и, в то же время, кривая $x(t) = 0$. $x(t) = 0$ является решением уравнения, если не рассматривать случай $a = 0$, если $f(0) = 0$ (теперь я понял к чему вы это говорили). В этом случае единственность теряется.

[Jane_Wanderer]

SpBTimes, я не понимаю и не знаю, как можно это строго обосновать.

[SpBTimes]

Jane_Wanderer
Я все написал

[Jane_Wanderer]

SpBTimes
написанное Вами не является доказательством, а мне нужно именно оно. Буду думать дальше.

[SpBTimes]

Jane_Wanderer
Является, если для других точек упомянуть теорему Коши-Пикара, подставить вместо $f(x,t)$ правую часть уравнения, и проверить, что за необходимое и достаточное условие на $f$, чтобы $x(t) = 0$ было решением исходного уравнения.
Если вы хотите, чтобы за вас расписали все до последней буковки, то тут это не принято. Показывайте свои успехи, если что - вас подправят

[Jane_Wanderer]

SpBTimes
в теореме Коши-Пикара требуется непрерывность по $t$(уравнение автономно) и липшицевость функции по $x$, а функция $g(x)=ax^{\frac{1}{3}}+f(x)$ не является Липшицевой.

[SpBTimes]

Jane_Wanderer
Является везде, кроме точек вида $(t_0, 0)$ в силу ограниченности производной.

[Jane_Wanderer]

SpBTimes
а Вы не могли бы разъяснить, почему является везде, кроме этих точек?
Мне казалось, что из ограниченности производной следует выполнение условия Липшица.

[SpBTimes]

Jane_Wanderer в сообщении #724676 писал(а):

Мне казалось, что из ограниченности производной следует выполнение условия Липшица.

Так и есть.

Jane_Wanderer в сообщении #724676 писал(а):

а Вы не могли бы разъяснить, почему является везде, кроме этих точек?

Продифференцируйте по $x$. Ф-ия не дифференцируема при $x = 0$

[Jane_Wanderer]

SpBTimes
это все для случая $f(0)\neq 0$?
Спасибо большое, буду думать!

[provincialka]

Jane_Wanderer в сообщении #724690 писал(а):

SpBTimes
это все для случая $f(0)\neq 0$?
Спасибо большое, буду думать!

Да нет, производная при $x=0$ равна бесконечности независимо от значений $f$.
Рассуждайте последовательно. Где может нарушаться единственность? В точках $(t, 0)$. Пусть два решения проходят через эту точку, но ни одно не лежит полностью на прямой $x=0$. Может такое быть? Вспомните, что решения получаются друг из друга "сдвигом".

Значит, два решения могут касаться друг друга только если одно их них - $x=0$. Осталось проверить, что это именно решение.