Исследование функции

[foreest]

Добрый день. У меня появилась небольшая трудность при исследовании функции, с которой сам я справиться не смог. Надеюсь на вашу помощь.

$y=\frac{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+4}$

1) ОДЗ: $\text{ }x\in \left( -\infty ;+\infty \right)$

2) $y\left( -x \right)=\frac{{{\left( -x+2 \right)}^{2}}}{-{{x}^{2}}+4}\Rightarrow $ чет.

3) $f'\left( x \right)=\frac{-4x+16}{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}$

4) ${f}'\left( x \right)=\frac{-4x+16}{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}=0$

$-4{{x}^{2}}+16=0$

${{x}_{1}}=2$ ${{x}_{2}}=-2$



${{x}_{\min }}=-2\Rightarrow f\left( -2 \right)=0$

${{x}_{\max }}=2\Rightarrow f\left( 2 \right)=2$

${f}''\left( x \right)={{\left( \frac{-4x+16}{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}} \right)}^{'}}=\frac{8{{x}^{3}}-96x}{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{3}}}$

$\frac{8{{x}^{3}}-96x}{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{3}}}=0$

$8{{x}^{3}}-96x=0$

${{x}_{1,2}}=\pm \sqrt{12}$ ${{x}_{3}}=0$



$y=\frac{12+4\sqrt{12}+4}{16}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$

$y=\frac{12-4\sqrt{12}+4}{-8}=-2\sqrt{3}$

точки перегиба:
$\left( \sqrt{12};\frac{2+\sqrt{3}}{2} \right)$

$\left( -\sqrt{12};-2\sqrt{3} \right)$


при заполнении таблицы заметил, что ячеек получается слишком много и решил свериться с примерами из интернета. В большинстве из них точки перегиба совпадали с критическими точками. К тому же на графиках, подобных моему, точка перегиба была в "центре" (на графике x=0; f(x)=1), а если судить по тому, что я насчитал это не так. Однако, на сколько я могу судить, по теории все верно + пересчитал производные, а после проверил в онлайн калькуляторе.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Наберите формулы $\TeX$ом.Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
На картинках можно оставить только графики.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[GAA]

Вернул из Карантина.

Неправильно набран знаменатель или допущена ошибка. Должно быть $(-x)^2+4$ или $x^2+4$. Отсутствует объяснение, почему функция четная. [И по рисунку не является четной.]

Не найдены горизонтальные асимптоты.

[iifat]

Перепутаны, как понимаю, минимум и максимум.

[foreest]

Да, точно. Видимо, когда рисовал график, задумался.

[arseniiv]

Судя по графику, знаки у $f''$ неправильные. Два левых.

[foreest]

т.е. - + - + ?
но если в $f''$ подставить число $x<-\sqrt{12}$ получается положительный результат. как раз на этом пункте я немного запутался.

[arseniiv]

foreest в сообщении #719484 писал(а):

т.е. - + - + ?

Ага.

foreest в сообщении #719484 писал(а):

но если в $f''$ подставить число $x<-\sqrt{12}$ получается положительный результат

Весьма странно. У меня получается отрицательный.

[foreest]

И точно, до этого считал и не раз пересчитывал на телефоне. Теперь пересчитал на компьютере и действительно отрицательное значение
Раз вторая производная, проходя через все 3 точки, меняет знак, значит все 3 и будут являться точками перегиба? (спрашиваю, потому что в тех же аналогичных примерах, при тех же условиях, точками перегиба считаются не все найденные критические точки, а только некоторые, хотя знак меняется на каждом из промежутков).

[arseniiv]

Да, тут все те три точки — точки перегиба.

[foreest]

Спасибо всем за помощь, таки разобрался