Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #744578 писал(а):

Так как n является большим натуральным числом, то все вероятности: $P(A_1), P(A_2), P(A_2/A_1)$ принадлежат одной вероятностной мере

Какую именно вероятностную меру вы имеете в виду? $P(f, 2, n)$ или какую-нибудь другую?

[vicvolf]

Ответ на ваш вопрос содержит следствие 2, которое я привожу в начале.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #744595 писал(а):

Ответ на ваш вопрос содержит следствие 2, которое я привожу в начале.

Правильно ли я понимаю, что под вероятностью $P(A_1)$ на самом деле понимается $P(A_1, 2, n)$?

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #744597 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что под вероятностью $P(A_1)$ на самом деле понимается $P(A_1, 2, n)$?

$P(A_1)=P(A_2)=1/\ln(n), P(A_2/A_1)=C_2/\ln(n).$

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #744607 писал(а):

tolstopuz в сообщении #744597 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что под вероятностью $P(A_1)$ на самом деле понимается $P(A_1, 2, n)$?

$P(A_1)=P(A_2)=1/\ln(n), P(A_2/A_1)=C_2/\ln(n).$

В третий раз повторяю вопрос: к какой именно вероятностной мере относятся упомянутые вами вероятности $P(A_1), P(A_2)$ и прочие? Выберите один из вариантов ответа:

а) к мере $P(f, A, B)$, введенной в первом сообщении темы;
б) к другой вероятностной мере.

При ответе а) уточните, какие $A$ и $B$ подразумеваются. При ответе б) укажите конкретную меру.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #744504 писал(а):

На конечном интервале плотность является рациональным числом. Вероятность события, что большое натуральное число х является простым равна 1/ln(x) отличается от плотности на конечном большом интервале на o(1/ln(x)).

Я уже ранее писал об этом. Вероятностная мера задана на том же конечном интервале [2,x), но отличается от плотности на конечном большом интервале на величину о-малое, поэтому может быть иррациональным числом для конкретной последовательности f(n). Об этом я пишу в начале вывода (формулы 1-3).

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #744939 писал(а):

vicvolf в сообщении #744504 писал(а):

На конечном интервале плотность является рациональным числом. Вероятность события, что большое натуральное число х является простым равна 1/ln(x) отличается от плотности на конечном большом интервале на o(1/ln(x)).

Я уже ранее писал об этом. Вероятностная мера задана на том же конечном интервале [2,x), но отличается от плотности на конечном большом интервале на величину о-малое, поэтому может быть иррациональным числом для конкретной последовательности f(n). Об этом я пишу в начале вывода (формулы 1-3).

То есть введенные вами величины $P(A_1), P(A_2)$ не являются значениями никакой вероятностной меры, и применение формулы вероятности произведения событий и прочих формул теории вероятностей не обосновано. Спасибо за разъяснение.

[vicvolf]

Любые вычисления на компьютере, не говорю о ручных, производятся с определенной степенью точности. Это относится и к вычислениям в теории вероятности. Любая вероятность - бесконечная периодическая (рациональная), бесконечная непериодическая (иррациональная) дробь заменяются при вычислениях на рациональную дробь с конечным числом знаков.

tolstopuz в сообщении #734134 писал(а):

Для $p$, малых по сравнению с $\sqrt{n}$, независимость действительно хорошо соблюдается: $(1-P_5(1000))(1-P_7(1000))=\frac{200}{1000}\frac{142}{1000}=0,0284$, а $1-P_{35}(1000)=\frac{28}{1000}=0,028$.
Для $p$, сравнимых с $\sqrt n$ и еще больших, ситуация намного хуже: $(1-P_{23}(1000))(1-P_{29}(1000))=\frac{23}{1000}\frac{29}{1000}=0,001462$, а $1-P_{23\cdot29}(1000)=\frac{1}{1000}=0,001$.

Величины, о которых вы говорите, $P(A_1)=P(A_2)=1/\ln(x)$ также определяются с любой наперед заданной точностью o(1/\ln(x) )(хотите с точностью до 100 знаков, хотите до $10^6$ знаков), как конечная рациональная дробь, т.е. в вероятностной мере $P(2,x)$.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #745218 писал(а):

Величины, о которых вы говорите, $P(A_1)=P(A_2)=1/\ln(x)$ также определяются с любой наперед заданной точностью o(1/\ln(x) )(хотите с точностью до 100 знаков, хотите до $10^6$ знаков), как конечная рациональная дробь, т.е. в вероятностной мере $P(2,x)$.

Это не имеет значения. Неверное равенство не станет верным, если обложить его рассуждениями.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #745240 писал(а):

[Неверное равенство не станет верным, если обложить его рассуждениями.

Почему неверное. Следствие 2 является верным равенством, которое как раз на эту тему, которое мы с вами очень подробно обсуждали и из которого все вытекает.
Я не понимаю, почему сейчас возник этот вопрос, когда я уже давно говорю, что вероятность большого натурального числа быть простым равна $1/\ln(n)$ именно в смысле следствия 2, т.е. с точностью $o(1/\ln(n))$.
Больше того, я говорил, что при больших n длиной кортежа можно пренебречь и поэтому $P(A_1)=P(A_2)=...=P(A_k)=1/\ln(n)$ и вы это нормально воспринимали, хотя равенство может быть только асимптотическое. Но что мне дает значение плотности равное 0 в абстрактной точке бесконечность. Мне важно, как плотность стремится к 0, как функция $1/\ln(x)$ или как $1/x$, именно в этом смысле надо понимать указанное равенство.

[vicvolf]

Сделаю уточнение

В случае, если значение вероятности является бесконечной дробью, то при представлении ее в вероятностной мере $P(2,n)$ для больших n допускается ошибка, при отбрасывании "хвоста", равная $1/n$. Например, при $n=10^{100}$, достигается высокая точность $n=10^{-100}$.
Относительная ошибка представления значения вероятности $1/\ln(n)$ в вероятностной мере $P(2,n)$ для больших n равна $\ln(n)/n$, т.е. с ростом n она убывает, как обратная величина количеству простых чисел на интервале.

[vicvolf]

Добавил уточнение к формуле (3) вывода гипотезы Харди-Литлвуда для простых близнецов.

На основании следствия 2 вероятность, что натуральное число х является простым равна:
$1/\ln(x)+o(1/\ln(x)). (1)$
Используя формулу Мертенса можно записать:
$e^C \prod_{p<n} (1-1/p) \sim 1/\ln(n) ,$ где C-постоянная Эйлера.
Это эквивалентно:
$e^C \prod_{p<n} (1-1/p) =1/\ln(n) +o(1/\ln(x)).(2)$
Пусть $A_1$ - событие, что большое натуральное число n является простым.
Тогда на основании формул (1),(2) и с учетом уточнения в сообщении от 12.07.13:
$P(A_1)=e^C \prod_{p<n} (1-1/p).(3)$

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #745274 писал(а):

именно в этом смысле надо понимать указанное равенство.

Бессмысленный набор слов. Либо два числа равны друг другу, либо не равны. Никаких других "смыслов" не существует.

Кроме того, величины $P(A_1), P(A_2)$ и подобные им называть вероятностями неправомерно, так как они не являются вероятностями. Это какие-то персонажи вашей сказки, не имеющие математического определения.

[vicvolf]

Вывод гипотезы Харди-Литлвуда в общем случае (без предположения о независимости остатков при делении на разные простые числа)

На основании следствия 2 вероятность, что натуральное число х является простым равна:
$1/\ln(x)+o(1/\ln(x)). (1)$
Используя формулу Мертенса можно записать:
$e^C \prod_{p<n} (1-1/p) \sim 1/\ln(n) ,$ где C-постоянная Эйлера.
Это эквивалентно:
$e^C \prod_{p<n} (1-1/p) =1/\ln(n) +o(1/\ln(x)).(2)$
Пусть $A_1$ - событие, что большое натуральное число n является простым.
Пусть $A_2$ - событие, что натуральное число $n+2n_1$ является простым.
....
Пусть $A_k$ - событие, что натуральное число $n+2n_1+...+2n_{k-1}$ является простым.
Так как натуральное число n большое, то длина k-кортежа - $2(n_1+..+n_{k-1})$ значительно меньше n, поэтому все значения вероятностей $P(A_1), P(A_2),...P(A_k), P(A_2/A_1), P(A_3/A_1,A_2),...,P(A_k/A_1,A_2,...,A_{k-1})$ принадлежат одной вероятностной мере и их можно сравнивать и для них справедлива формула вероятности произведения событий.
На основании формул (1),(2) и с учетом уточнения в сообщении от 12.07.13:
$P(A_1)=P(A_2)=...P(A_k)=1/\ln(n)=e^C \prod_{p<n} (1-1/p).(3)$
Найдем $P(A_2/A_1).$
Для фиксированного простого p разобьем натуральный ряд чисел на p непересекающихся классов: $pl-p+1, pl-p+2, ...pl-1, pl,$ где i - натуральное число. Простые числа могут находиться в p-1 классах кроме класса pl. Плотности простых чисел во всех последовательностях арифметических прогрессий: $pl-p+t, t \leq p-1$ одинаковы, поэтому равны и их количества на интервале натурального ряда от 2 до n. Учитывая это вероятность, что простое число p не является делителем натурального числа n равна $(p-1)/p=1-1/p$ (4).
Обозначим $B_1$ событие, что простое число p не является делителем натурального числа n, тогда на основании (4):
$P(B_1)=1-1/p$.
Обозначим $B_2$ событие, что простое число p натуральное число не является делителем натурального числа $n+2n_1$.
Так как n большое, то длина кортежа значительно меньше n, поэтому вероятности:
$P(B_1),P(B_2)$ принадлежат одной вероятностной мере и их можно сравнивать:
$P(B_1)=P(B_2)=1-1/p.$ (5)
Вероятность, что простое число p не является одновременно делителем натуральных чисел кортежа: $n,n+2n_1$ определяется по формуле:
$P(B_1 \cdot B_2)=1-w_2(p)/p,$ (6) где $w_2(p)$ число решений сравнения: $n(n+2n_1) \equiv 0 (\mod p).$
Для каждого p на основании (5), (6) мы получаем:
$Pr(B_2/B_1)=Pr(B_1 \cdot B_2)/Pr(B_1)=\frac {1-w_2(p)/p} {(1-1/p)}.$ (7)
На основании (7) и делая единственное предположение, что остатки от деления n на различные простые числа зависимы одинаково - является ли n простым числом или нет (*) получаем:
$P(A_2/A_1)=e^C\prod_{p<n}\frac {1-w_2(p)/p} {(1-1/p)^2}.$ (8)
(*) - это моя гипотеза. Если кто-то считает, что она не справедлива, то он считает также несправедливой гипотезу Харди-Литлвуда. Это будет ясно из дальнейшего изложения.
Теперь найдем:

$$C_2(n)=P(A_1)P(A_2/A_1)/P(A_1)P(A_2)=P(A_2/A_1)/P(A_2)=e^C\prod_{p<n}\frac {1-w_2(p)/p} {(1-1/p)^2}/e^C \prod_{p<n} (1-1/p)^2=$$

$$=\prod_{p<n}\frac {1-w_2(p)/p} {(1-1/p)^2}/\prod_{p<n} (1-1/p)^2.(9)$$

Продолжение следует

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #746186 писал(а):

Используя формулу Мертенса можно записать:
$e^C \prod_{p<n} (1-1/p) \sim 1/\ln(n) ,$ где C-постоянная Эйлера.
Это эквивалентно:
$e^C \prod_{p<n} (1-1/p) =1/\ln(n) +o(1/\ln(x)).(2)$

А как $n$ и $x$ связаны? $n=x$? А то символы $o(f(x,y)), O(f(x,y))$ - от функций 2-х переменных надо еще подумать что означают...