Помогите найти более общее теоретико-числовое решение

[Ktina]

Доказать:

$$\forall n\in\mathbb N~\exists k\in\mathbb N\quad :\quad 3^n|5^k-1$$

База индукции: $3^1|5^2-1$
Шаг индукции: $5^{3k}-1=(5^k)^3-1=(5^k-1)(5^{2k}+5^k+1)$ Поскольку $k$ чётно (иначе $5^k-1$ не делилось бы на 3), $5^k$ и $5^{2k}$ дают остаток 1 при делении на 3, а значит, $5^{2k}+5^k+1$ делится на 3, откуда следует, что $5^{3k}-1=(5^k)^3-1=(5^k-1)(5^{2k}+5^k+1)$ делится на $3^{n+1}$

Мне кажется, что здесь должно быть более общее теоретико-числовое решение, которое следует из какой-нибудь теоремы и подходит не только для этой задачи.

Помогите, пожалуйста, его найти.

[ИСН]

Вместо $3^n$ может стоять любое число, взаимно простое с 5.

-- Чт, 2013-05-02, 21:37 --

Вместо 5 в формулировке и в предыдущем примечании может стоять тупо любое число.

[Ktina]

ИСН в сообщении #718881 писал(а):

Вместо $3^n$ может стоять любое число, взаимно простое с 5.

-- Чт, 2013-05-02, 21:37 --

Вместо 5 в формулировке и в предыдущем примечании может стоять тупо любое число.

Неужели снова к МТФ сводится?

[ИСН]

Ну да.
И наконец, про такое k известно кое-что сверх того, что оно существует.

[Ktina]

ИСН в сообщении #718885 писал(а):

Ну да.
И наконец, про такое k известно кое-что сверх того, что оно существует.

В случае моего решения по индукции это $k$ равно $2\cdot 3^{n-1}$, в смысле $3^n|5^{2\cdot 3^{n-1}}$

[ИСН]

Ну дак это же и есть $\varphi(3^n)$.

[Ktina]

ИСН в сообщении #718891 писал(а):

Ну дак это же и есть $\varphi(3^n)$.

Функция Ойлера Эйлера?

[ИСН]

Ну.

[Ktina]

ИСН в сообщении #718899 писал(а):

Ну.

Спасибо!