2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите найти более общее теоретико-числовое решение
Сообщение02.05.2013, 19:50 
Аватара пользователя
Доказать: $$\forall n\in\mathbb N~\exists k\in\mathbb N\quad :\quad 3^n|5^k-1$$

База индукции: $3^1|5^2-1$
Шаг индукции: $5^{3k}-1=(5^k)^3-1=(5^k-1)(5^{2k}+5^k+1)$ Поскольку $k$ чётно (иначе $5^k-1$ не делилось бы на 3), $5^k$ и $5^{2k}$ дают остаток 1 при делении на 3, а значит, $5^{2k}+5^k+1$ делится на 3, откуда следует, что $5^{3k}-1=(5^k)^3-1=(5^k-1)(5^{2k}+5^k+1)$ делится на $3^{n+1}$

Мне кажется, что здесь должно быть более общее теоретико-числовое решение, которое следует из какой-нибудь теоремы и подходит не только для этой задачи.

Помогите, пожалуйста, его найти.

 
 
 
 Re: Помогите найти более общее теоретико-числовое решение
Сообщение02.05.2013, 20:36 
Аватара пользователя
Вместо $3^n$ может стоять любое число, взаимно простое с 5.

-- Чт, 2013-05-02, 21:37 --

Вместо 5 в формулировке и в предыдущем примечании может стоять тупо любое число.

 
 
 
 Re: Помогите найти более общее теоретико-числовое решение
Сообщение02.05.2013, 20:38 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #718881 писал(а):
Вместо $3^n$ может стоять любое число, взаимно простое с 5.

-- Чт, 2013-05-02, 21:37 --

Вместо 5 в формулировке и в предыдущем примечании может стоять тупо любое число.

Неужели снова к МТФ сводится?

 
 
 
 Re: Помогите найти более общее теоретико-числовое решение
Сообщение02.05.2013, 20:38 
Аватара пользователя
Ну да.
И наконец, про такое k известно кое-что сверх того, что оно существует.

 
 
 
 Re: Помогите найти более общее теоретико-числовое решение
Сообщение02.05.2013, 20:42 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #718885 писал(а):
Ну да.
И наконец, про такое k известно кое-что сверх того, что оно существует.

В случае моего решения по индукции это $k$ равно $2\cdot 3^{n-1}$, в смысле $3^n|5^{2\cdot 3^{n-1}}$

 
 
 
 Re: Помогите найти более общее теоретико-числовое решение
Сообщение02.05.2013, 20:49 
Аватара пользователя
Ну дак это же и есть $\varphi(3^n)$.

 
 
 
 Re: Помогите найти более общее теоретико-числовое решение
Сообщение02.05.2013, 20:55 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #718891 писал(а):
Ну дак это же и есть $\varphi(3^n)$.

Функция Ойлера Эйлера?

 
 
 
 Re: Помогите найти более общее теоретико-числовое решение
Сообщение02.05.2013, 21:00 
Аватара пользователя
Ну.

 
 
 
 Re: Помогите найти более общее теоретико-числовое решение
Сообщение02.05.2013, 21:29 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #718899 писал(а):
Ну.

Спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group