Найти первые 6 цифр числа 101^10

[Ktina]

Найти первые (MSD -- прим. ред.) шесть цифр десятичной записи числа $101^{10}$

Можно, конечно, бестолково умножать на бумаге.
Но я думаю, тут угадать трюк надо.

Я правильно угадала, что через Маклорена надо считать?
У меня получилось:

$$101^{10}=100^{10}\cdot 1,01^{10}$$

А уж $1,01^{10}$ будем отмаклоренивать:

$$1,01^{10}=1+\frac{10}{1!}\cdot\frac{1}{100}+\frac{10\cdot 9}{2!}\cdot\frac{1}{10^4}+\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3!}\cdot\frac{1}{10^6}+\dots$$

Я думаю, достаточно членов? Поправьте меня, если не права.
Итак, выходит

$$1+\frac{1}{10}+\frac{9}{2000}+\frac{12}{10^5}=1+\frac{1}{10}+\frac{45}{10^4}+\frac{12}{10^5}=1,1045+0,00012=1,10462$$

А теперь умножим на $100^{10}=10^{20}$ и получим первые шесть цифр: 110462.

Это верное решение?

[TOTAL]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #717634 писал(а):

А уж $1,01^{10}$ будем отмаклоренивать

Почемы бы сразу $(100+1)^{10}$ не отбиномоньютить?

[Ktina]

TOTAL в сообщении #717641 писал(а):

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #717634 писал(а):

А уж $1,01^{10}$ будем отмаклоренивать

Почемы бы сразу $(100+1)^{10}$ не отбиномоньютить?

Потому что олимпиада не школьная, а внутривузовская

-- 30.04.2013, 13:27 --

Точнее, даже внутривтузовская.

Какая красота получается -- бином Ньютона, оказывается, является частным случаем ряда Маклорена

[iifat]

Естественно, вообще-то Математика -- очень взаимосвязанная наука. И Маклорен тут и правда ни при чём, коли уж можно обойтись Ньютоном.