Решить уравнение (A^k)^2 +(B^k)^2=(C^k)^2

[markopol]

Господа,
докажите, что уравнение теоремы Пифагора, имеющее вид:
$(A^k)^2+(B^k)^2 =(C^k)^2$, (1)
не имеет решения в целых числах.

Предлагаю свое доказательство.
$A$ –нечетное число, $B$ – четное число, $C$ – нечетное число.
Числа $A^k, B^k, C^k$ определяются по следующим известным формулам для определения Пифагоровых троек:
$A^k=P^2-Q^2$ (2)
$B^k=2PQ$ (3)
$C^k=P^2+Q^2$ (4)

Допустим: $P=p^k, Q=q^k$
Подставляя в формулы (2), (3), (4) эти значения чисел $P, Q$, получим:
$A^k=p^{2k}-q^{2k}$ (5)
$B^k=2p^kq^k$ (6)
$C^k=p^{2k}+q^{2k}$ (7)

Не вдаваясь в анализ, могут ли числа $A, B$, определяемые по формулам (5) и (7), быть целыми, обратим внимание на то, что число $B$, определяемое по формуле (6), не может быть целым числом, потому что:
$B^k\ne2p^kq^k$ (8)

т.к. число $2$ не является целым числом в степени $k$ : $2\ne d^k$.
Следовательно, при значениях числа $B^k$, определяемых по формуле (6) и подставляемых в уравнение (1), теорема Пифагора не имеет решения в целых числах, т. к. $B^k\ne2p^kq^k$. Таким образом, уравнение (1) теоремы Пифагора не имеет решения в целых числах.

[nnosipov]

markopol в сообщении #713545 писал(а):

Допустим: $P=p^k, Q=q^k$

С какого бодуна такое допущение?

[AKM]

Тема закрыта как продолжающая или повторяющаяя ранее закрытую (путём снесения в Пургаторий) тему «Теорема Пифагора: частный случай».

Автору запрещается поднимать обсуждение того же вопроса на форуме.