2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 19:04 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Возник вопрос по задаче из Филиппова №975
$\dot{x} = -2x-5y$, $\dot{y} = 2x+2y$
Понятно, что особая точка - центр и траекториями будут являться эллипсы, но не понятно как они будут ориентированы (каковы их оси?) Есть ли общий метод нахождения осей в таких задачах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ну а как Вы поняли, что тут центр и эллипсы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 19:10 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Корни характеристического уравнения чисто мнимые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
А, ну да...
Короче, не знаю, как тут положено делать (наверняка через какие-нибудь скучные собственные векторы), так что давайте по-простому. Вот есть выражение $ax^2+bxy+cy^2$; мы ведь можем найти от него производную?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 19:50 
Аватара пользователя


26/02/11
332
ИСН в сообщении #709161 писал(а):
Вот есть выражение $ax^2+bxy+cy^2$; мы ведь можем найти от него производную?

Можем, производную по t, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Да, её.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 21:43 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Да мы можем найти эту производную, но что делать с коэффициентами $a, b, c$? И для чего ее находить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Да так, низачем; валялась на обочине - дай-ка, думаю, найду...
Зайдём с другой стороны: как вообще выглядят эллипсы, и что значит "траекториями будут являться эллипсы"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 22:19 
Аватара пользователя


26/02/11
332
ИСН в сообщении #709280 писал(а):
как вообще выглядят эллипсы

Эллипсы как элипсы, как они могут еще выглядить.
ИСН в сообщении #709280 писал(а):
, и что значит "траекториями будут являться эллипсы"?


Это значит, что в плоскости $(x, y)$ решения данной системы будут изображаться кривыми, заданными параметрически (от $t$). В данном случае эллипсами, с центром в положении равновесия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
:facepalm: Уравнения эллипсов на плоскости (x,y) как выглядят?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 22:29 
Аватара пользователя


26/02/11
332
То что вы написали выше, если приравнять константе, и будет уравнением эллипсов.
ИСН в сообщении #709161 писал(а):
Вот есть выражение $ax^2+bxy+cy^2$;

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
То-то же. Ну вот я и подумал: если наша траектория - эллипс, значит, вот это выражение вдоль неё постоянно. Оно не меняется со временем. Его производная - 0. А как её выразить? А вот так...

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 22:42 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Ну а как все-таки найти уравнения осей? Я никак понять не могу. Вот продифференцируем мы это общее уравнение эллипса , подставим вместо $\dot{x}, \dot{y}$ выражения из системы, приравняем к нулю, а дальше? Получится некоторое выражение с $a, b, c, x, y$. Как мне узнать, как будут расположены эллипсы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 22:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Понятия не имею. Сделайте это сначала.

-- Пт, 2013-04-12, 23:43 --

Там разберёмся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 23:00 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Для данной задачи у меня получилось: $(2b-4a)x^2 + (2c-10a)xy + (4c - 5b)y^2 = 0.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Red_Herring


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group