2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 19:04 
Аватара пользователя
Возник вопрос по задаче из Филиппова №975
$\dot{x} = -2x-5y$, $\dot{y} = 2x+2y$
Понятно, что особая точка - центр и траекториями будут являться эллипсы, но не понятно как они будут ориентированы (каковы их оси?) Есть ли общий метод нахождения осей в таких задачах?

 
 
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 19:05 
Аватара пользователя
Ну а как Вы поняли, что тут центр и эллипсы?

 
 
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 19:10 
Аватара пользователя
Корни характеристического уравнения чисто мнимые.

 
 
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 19:39 
Аватара пользователя
А, ну да...
Короче, не знаю, как тут положено делать (наверняка через какие-нибудь скучные собственные векторы), так что давайте по-простому. Вот есть выражение $ax^2+bxy+cy^2$; мы ведь можем найти от него производную?

 
 
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 19:50 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #709161 писал(а):
Вот есть выражение $ax^2+bxy+cy^2$; мы ведь можем найти от него производную?

Можем, производную по t, да?

 
 
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 20:41 
Аватара пользователя
Да, её.

 
 
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 21:43 
Аватара пользователя
Да мы можем найти эту производную, но что делать с коэффициентами $a, b, c$? И для чего ее находить?

 
 
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 21:59 
Аватара пользователя
Да так, низачем; валялась на обочине - дай-ка, думаю, найду...
Зайдём с другой стороны: как вообще выглядят эллипсы, и что значит "траекториями будут являться эллипсы"?

 
 
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 22:19 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #709280 писал(а):
как вообще выглядят эллипсы

Эллипсы как элипсы, как они могут еще выглядить.
ИСН в сообщении #709280 писал(а):
, и что значит "траекториями будут являться эллипсы"?


Это значит, что в плоскости $(x, y)$ решения данной системы будут изображаться кривыми, заданными параметрически (от $t$). В данном случае эллипсами, с центром в положении равновесия.

 
 
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 22:22 
Аватара пользователя
:facepalm: Уравнения эллипсов на плоскости (x,y) как выглядят?

 
 
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 22:29 
Аватара пользователя
То что вы написали выше, если приравнять константе, и будет уравнением эллипсов.
ИСН в сообщении #709161 писал(а):
Вот есть выражение $ax^2+bxy+cy^2$;

 
 
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 22:30 
Аватара пользователя
То-то же. Ну вот я и подумал: если наша траектория - эллипс, значит, вот это выражение вдоль неё постоянно. Оно не меняется со временем. Его производная - 0. А как её выразить? А вот так...

 
 
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 22:42 
Аватара пользователя
Ну а как все-таки найти уравнения осей? Я никак понять не могу. Вот продифференцируем мы это общее уравнение эллипса , подставим вместо $\dot{x}, \dot{y}$ выражения из системы, приравняем к нулю, а дальше? Получится некоторое выражение с $a, b, c, x, y$. Как мне узнать, как будут расположены эллипсы?

 
 
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 22:43 
Аватара пользователя
Понятия не имею. Сделайте это сначала.

-- Пт, 2013-04-12, 23:43 --

Там разберёмся.

 
 
 
 Re: Нахождение осей эллипсов
Сообщение12.04.2013, 23:00 
Аватара пользователя
Для данной задачи у меня получилось: $(2b-4a)x^2 + (2c-10a)xy + (4c - 5b)y^2 = 0.$

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group