Вращающееся кольцо

[anik]

DimaM в сообщении #708026 писал(а):

nikvic в сообщении #707875 писал(а):

Поэтому р/2

Скорее $2p$.

DimaM в сообщении #708038 писал(а):

Ошибся в прошлом сообщении. Действительно $p/2$ .

Хочу спросить. В олимпиадных задачах не принято разглашать решение, чтобы не было подсказки?
А то возникает впечатление, что ответ просто угадывается, и никакого обоснования не приводится.

[nikvic]

anik в сообщении #708775 писал(а):

А то возникает впечатление, что ответ просто угадывается, и никакого обоснования не приводится.

Этта было настроение такое
Задачка слишком известная в разных вариантах, вплоть до приёма вычисления положения ЦМ дуги окружности через силу натяжения вращающегося верёвочного кольца.
Обычный способ решения - взять маленькую дугу и записать 2-й з-н Ньютона.

[DimaM]

anik в сообщении #708775 писал(а):

Хочу спросить. В олимпиадных задачах не принято разглашать решение, чтобы не было подсказки?

Так ваша задача. Хотите - разглашайте, не хотите - не разглашайте.

Цитата:

А то возникает впечатление, что ответ просто угадывается, и никакого обоснования не приводится.

А какой у вас собственный ответ?

[dovlato]

Если у кого будет желание - могу привести решение. Достаточно стандартное рассмотрение, такое, как вкратце указал nikvic.

[anik]

Представим себе тонкое кольцо прямоугольного сечения.
Позвольте мне элемент объёма не рисовать.
$dv=rd\varphi drdz$, $dm=\rho rd\varphi drdz$.
Центробежная сила, действующая на этот элемент объёма равна $dF_r=wdm$; $w=v^2/r$.

$$dF_r=\rho v^2d\varphi drdz$$

$F_\tau$ - сила натяжения кольца.

$$\frac{F_\tau}{drdz}=\sigma _\tau$$

$\sigma _\tau$ - тангенциальное напряжение в поперечном сечении кольца, его максимальное значение известно.
Составим условие равновесия элемента кольца. В направлении от центра действует центробежная сила, в направлении к центру - сила $dF_r=F_\tau sind\varphi$ Для малых углов $sind\varphi=d\varphi$.
Подставим значение $F_r$, получим:

$$F_\tau =\rho v^2drdz$$

$$\sigma _\tau=\rho v^2$$

. Кинетическая энергия $T=1/2mv^2$, $m=\rho V$ $V$ -объём кольца. $T=1/2\rho Vv^2$. $\varepsilon=T/V$,

$$\varepsilon=1/2\rho v^2$$

$v^2=\sigma _\tau /\rho$. И окончательный ответ:

$$\varepsilon=1/2\sigma _\tau$$

.

[anik]

nikvic в сообщении #708301 писал(а):

Конечно. Если тяжёлая нить движется "вдоль себя", то натяжение (других сил нет) равно произведению погонной плотности на квадрат (постоянной) скорости.
Это не зависит от кривизны, так что получаем, в частности, скорость волны вдоль струны.

Но есть факт и забавнее. Если "кольцу" из нити придать пространственную форму и "запустить вдоль", то эта форма сохранится - как будто нить запущена внутри "ледяного" канала

Я сильно сомневаюсь, как в первом пункте, так и во втором.

[nikvic]

anik в сообщении #708957 писал(а):

nikvic в сообщении #708301 писал(а):

Конечно. Если тяжёлая нить движется "вдоль себя", то натяжение (других сил нет) равно произведению погонной плотности на квадрат (постоянной) скорости.
Это не зависит от кривизны, так что получаем, в частности, скорость волны вдоль струны.

Но есть факт и забавнее. Если "кольцу" из нити придать пространственную форму и "запустить вдоль", то эта форма сохранится - как будто нить запущена внутри "ледяного" канала

Я сильно сомневаюсь, как в первом пункте, так и во втором.

Ваш формульный вывод (слишком подробный) имеет следствием "моё" равенство для натяжения в случае окружности.
Проделайте то же для нити, движущеся внутри скользкого канала (внешние силы нормальны к траектории) для участка с известной кривизной. Получите ноль для внешних сил и независимость натяжения. от кривизны.

[anik]

nikvic в сообщении #708964 писал(а):

Ваш формульный вывод (слишком подробный)...

На то и форум, ведь его просматривают студенты, которые и не участвуют в олимпиадах. Ответы даются и в задачниках, но как решать?

nikvic в сообщении #708964 писал(а):

Проделайте то же для нити, движущеся внутри скользкого канала (внешние силы нормальны к траектории) для участка с известной кривизной. Получите ноль для внешних сил и независимость натяжения. от кривизны.

Да, но Вы писали о зависимости натяжения от скорости: " Если тяжёлая нить движется "вдоль себя", то натяжение (других сил нет) равно произведению погонной плотности на квадрат (постоянной) скорости." Если нить движется внутри скользкого канала, то вообще нет видимых причин для её натяжения, и, тем более, зависимости этого натяжения от скорости. Вдоль скользкого канала может двигаться и жидкость без трения, но с чего это вдруг, жидкость должна натягиваться в зависимости от скорости. Жидкость не будет вращаться как кольцо без канала, её разорвёт!

[nikvic]

anik в сообщении #708973 писал(а):

Если нить движется внутри скользкого канала, то вообще нет видимых причин для её натяжения

Гм, а для резинки?

[anik]

nikvic в сообщении #708976 писал(а):

Гм, а для резинки?

Я понимаю так, что канал, хоть и гладкий, но жёсткий. Поэтому его длина не изменяется. Поместите в этот канал резинку. Если резинка не изменяет свою длину по оси центров масс сечений, то с чего она должна растягиваться или сжиматься? При изгибе резинки её слои, расположенные со стороны центра кривизны от нейтральной оси сечения, сжимаются, а внешние слои - растягиваются. Расстояния между центрами масс близких сечений при этом не изменяется.

-- Пт апр 12, 2013 16:00:26 --

Конечно, если для того, чтобы вставить резинку в канал, нам пришлось её растянуть, то она будет находится там и перемещаться с постоянным натяжением. Для жидкости так не получится, в ней появятся разрывы.

[nikvic]

Резинку можно взять покороче, чем длина канала. Она очень тонкая, и никаких "слоёв" у неё нет.

В "экспериментах" её можно запускать с разной скоростью и наблюдать за реакцией стенок канала на участках с разной кривизной. Для "моей" скорости реакция всюду обнулится. Канал можно выкинуть

[anik]

nikvic в сообщении #708981 писал(а):

Резинку можно взять покороче, чем длина канала.

Давайте мы не будем усложнять задачу предварительным натяжением резинки. Будем вести речь о тонкой гибкой массивной нити.

nikvic в сообщении #708981 писал(а):

Она очень тонкая, и никаких "слоёв" у неё нет.

"Слои" возникают тогда, когда мы рассматриваем изменение напряжений в сечении при изгибе. Для тонкой нити, согласен, изменениями $\sigma _z$ по сечению можно пренебречь, и считать, что нормальные напряжения в сечении постоянны.

nikvic в сообщении #708981 писал(а):

Для "моей" скорости реакция всюду обнулится.

Реакция стенки не может обнулиться. Она направлена по главной нормали к кривой нити и зависит по модулю от скорости нити, её плотности и кривизны траектории в данной точке. Другое дело, что эта реакция не влияет на натяжение нити, т.к. направлена нормально к нити.

[nikvic]

anik в сообщении #708990 писал(а):

Реакция стенки не может обнулиться. Она направлена по главной нормали к кривой нити и зависит по модулю от скорости нити, её плотности и кривизны траектории в данной точке.

А что, если модуль равен нулю??????

[anik]

Обратимся к дифференциальной геометрии и рассмотрим систему дифференциальных уравнений сопровождающего трёхгранника. Оси этого трёхгранника определяются тремя ортогональными векторами: $\tau$- вектор касательной к кривой, $\nu$ - вектор главной нормали, $\beta$ - вектор бинормали. Рассмотрим для простоты плоскую кривую, для неё вектор бинормали равен нулю, т.к. нет кручения.

$$\frac{dr}{ds}=\tau, \quad \frac{d\tau}{ds}=K\nu, \quad \frac{d\nu}{ds}=-K\tau.$$

теперь выясним, при каких условиях модуль нормальной реакции равен нулю.
1. $dr/ds=0$. Нить неподвижна, вектор $\tau$ неопределён.
2. $d\tau /ds=0$ тогда кривизна $K=0$, вектор $\nu$ неопределён. Это означает, что траектория прямолинейна.
3. Есть кривизна, есть скорость, но нет плотности $\rho$. Главная нормаль есть, а силы нет, т.к. нить невесома.

Какое из этих условий Вам больше нравится?

[nikvic]

anik в сообщении #709011 писал(а):

Есть кривизна, есть скорость, но нет плотности . Главная нормаль есть, а силы нет, т.к. нить невесома.

Вот эта - но с плотностью.